Disciplina Curricular
Álgebra Alg
Mestrado Bolonha em Matemática - 1_MMat 2010/11
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
A disciplina de Álgebra foi planeada para cobrir as principais estruturas algébricas, complementando os estudos do primeiro ciclo nesta área. O seu objetivo principal é preparar os alunos para poderem utilizar a Álgebra nas diferentes áreas da Matemática. Esta unidade curricular pretende iniciar, ao nível da pósgraduação, uma formação básica e fundamental da área de Álgebra.
Programa
1. GRUPOS Generalidades sobre grupos. Produtos diretos e produtos semidiretos. Grupos-p finitos e o teorema de Sylow. Aplicações à classificação dos grupos finitos. Automorfismos de grupos. Grupos caracteristicamente simples. Grupos com operadores. Grupos Noetherianos e grupos Artinianos. Séries de composição, teoremas de Schreier e de Jordan–Hölder. Grupos resolúveis e grupos nilpotentes. Subgrupos de Hall. 2. MÓDULOS Generalidades sobre anéis, módulos e álgebras. Condições de cadeia. Módulos livres. Sequências exatas. Módulos projetivos e módulos injetivos. Functores Hom. 3. APLICAÇÕES MULTILINEARES E PRODUTOS TENSORIAIS Aplicações multilineares. Teorema de Cayley–Hamilton. Produtos tensoriais de módulos sobre anéis comutativos. Mudança do anel dos escalares. Produtos tensoriais de álgebras. 4. MÓDULOS SOBRE DOMÍNIOS DE IDEAIS PRINCIPAIS Diagonalização de matrizes. Classificação dos módulos finitamente gerados sobre domínios de ideais principais. Classificação dos grupos Abelianos finitamente gerados. Formas canónicas para a semelhança. 5. ANÉIS COMUTATIVOS Extensões integrais. Ideais primos e ideais radicais. Lema de normalização de Noether. Teorema dos zeros de Hilbert. Anéis de frações e localização. Decomposição primária. Teorema de Lasker–Noether.
Métodos de ensino e avaliação
Para além do exame escrito final, os alunos podem optar por uma avaliação contínua ao longo do semestre, composta por trabalhos individuais ou em grupo, apresentações, mini-testes. A avaliação pode ser complementada com uma prova oral quando o docente entender que é necessário confirmar a nota.