Disciplina Curricular
Topologia Algébrica TAlgeb
Mestrado Bolonha em Matemática - 1_MMat 2010/11
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
O objectivo principal é treinar oaluno para futura utilisação da Topologia Algébrica em qualquer área de investigação em que seja útil. Do ponto de vista da Topologia, aprofundar o conhecimento dos espaços topológicos através dos invariantes fornecidos pela homotopia e pela homologia, com particular ênfase no estudo das superfícies de Riemann compactas. Do ponto de vista algébrico, partindo da existência de invariantes algébricos associados a espaços topológicos (aspectos functoriais da Topologia Algébrica), consolidar os conhecimentos da Teoria das Categorias e Functores, assim como de Álgebra Holomógica.
Programa
Categorias e functores. Introdução à Álgebra Homológica. Homotopia e Espaços de Revestimento. Grupo Fundamental ou de Poincaré. Somas algébricas e somas toplógicas.Teorema de Van Kampen e estudo de exmplos. Revestimento universal e classificação dos espaços de revestimento sobre um espaço base fixado. Simplexes e Homologia Singular de um espaço topológico. Excisão e Sucessão de Mayer-Vietoris. Grau de uma aplicação de S^nem S^n. CW-Complexos. Adjunção de uma n-célula a um espaço topológico. Espaços obtidos por adjunção de células. Exemplos. Homologia Relativa e Homologia Reduzida. Números de Betti e característica de Euler-Poincaré. Homologia das superfícies de Riemann compactas de R^3. Homologia dos Espaços Projectivos Reais e Complexos. Possíveis tópicos opcionais se o tempo o permitir: Cohomologia Singular e dualidade de Poincaré. Homology and cohomologia de grupos. Grupos de homotopia de ordem superior e sucessão exacta longa de homotopia. Teoria do Grau e Teoria de Morse
Métodos de ensino e avaliação
As aulas serão dividas em aulas teóricas e teórico-práticas. Nas aulas teóricas será predominante a exposição do professor. Nas aulas teórico-práticas será dominante a intervação dos alunos, que apresentarão a resoluçao de exercícios ou a exposição de temas propostos previamente. Pelo menos três horas de aulas teóricas semanais. Proposta semanal de exercícios de grau de dificuldade variado, que serão discutidos nas aulas teórico-práticas e servirão de complemento de informação para a avaliação. Exame final escrito com duração de três horas. Para nota igual ou superior a 17 haverá lugar a uma exposição oral sobre um tema opcional escolhido pelo aluno.