Disciplina Curricular
Topologia Diferencial TDif
Mestrado Bolonha em Matemática - 1_MMat 2010/11
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Pretende-se que os alunos obtenham conhecimentos básicos de Topologia Diferencial, nomeadamente em Teoria do Grau e Teoria de Morse, de modo a conseguirem manejar e aplicar as ferramentas básicas desta a outras disciplinas matemáticas.
Programa
1-Generalidades sobre variedades e mapas entre variedades 2-Classificação local de mapas. Mergulhos e imersões. 3-Classificação local de campos de vectores e de campos escalares. Pontos regulares e singulares/críticos. Lema de Morse. 4-Variedades com bordo. Campo normal exterior ao longo do bordo. Vizinhanças tubulares. Fluxos em variedades. 5-Teorema de Sard. Transversalidade. Teorema da transversalidade genérica. Campos de vectores genéricos. Funções de Morse. 6-Orientações em espaços lineares e em variedades. Orientabilidade. Orientações induzidas nas pré-imagens e no bordo. 7-Homologia singular. 8-Homotopia entre mapas. Relação com a homologia singular 9-Teoria de Morse. Desigualdades de Morse. 10-Teoria do grau módulo 2. Teoria do grau de Brouwer. 11-Índice local de uma singularidade. Teorema de Poincaré-Hopf. 12-Aplicações da Topologia Diferencial.
Métodos de ensino e avaliação
A avaliação tem duas componentes: uma contínua, consistindo de um trabalho de casa quinzenal, a valer 40% da nota final, mais o exame que a valer os restantes 60%. Caso os exames não sejam presenciais todos os alunos poderão ser chamados a um exame oral.