Disciplina Curricular
Análise Funcional AFunc
Mestrado Bolonha em Matemática - 1_MMat 2010/11
Peso
9.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Pretende-se que os alunos obtenham conhecimentos básicos de Análise Funcional, nomeadamente nos seguintes tópicos: Teoremas gerais em espaços de Banach, dualidade e convergência fraca, espaços de Hilbert e Teorema Espectral para operadores compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert. Os alunos devem ficar a manejar estes temas com o fim de os poder aplicar em outros cursos e em trabalho de investigação.
Programa
Espaços de Hilbert. Teoremas da projecção ortogonal, de representação de Riesz; séries de Fourier relativas a bases de Hilbert. Operadores compactos. Operadores auto-adjuntos. Decomposição espectral para operadores auto-adjuntos compactos. Espaços normados. Espaços quociente; projecções e hiperplanos. Teoremas fundamentais: teoremas de Hahn–Banach, de Banach–Steinhaus, da Aplicação Aberta e do Gráfico Fechado. Dualidade. Convergência fraca e fraca-estrela. Espaços reflexivos. Alguns teoremas de representação de duais. Possíveis tópicos adicionais: Teoria espectral para operadores limitados em espaços de Banach. Teoria espectral para operadores compactos. Espaços L^p.
Métodos de ensino e avaliação
Trabalhos escritos e possíveis exposições orais durante o semestre, contando para avaliação. Exame final escrito, eventualmente com exame oral.