Plano de Estudos

Grupos e álgebras de Lie (D) GaL-D

Contextos

ECTS

7.5 (para cálculo da média)

Objectivos

O objectivo deste curso avançado é introduzir a noção de Grupo de Lie em estreita ligação com a de Álgebra de Lie, assim como os resultados básicos desta teoria, com vista a habilitar os alunos tanto para a investigação nesta área como a usá-la como instrumento de resolução de problemas noutras áreas.
 Como curso avançado, incidirá eventualmente em alguns dos seguintes tópicos: teoria da representação dos grupos de Lie compactos conexos; integração em grupos de Lie; medidas de Haar; representações de grupos de Lie; toros maximais; a fórmula integral de Weyl; o lema de Schur; coeficientes e carácter de uma representação; o teorema de Peter-Weyl.
 As aplicações a considerar estarão relacionadas com as escolhas pessoais do docente. Exemplos: equações diferenciais, espaços simétricos.

Programa

1. Grupos de Lie e Álgebras de Lie - Definições básicas. Parênteses de Lie sobre campos vectoriais. Campos vectoriais invariantes à esquerda. A aplicação exponencial. Representações adjuntas. Correspondência entre grupos de Lie conexos e álgebras de Lie. Os grupos e álgebras de Lie clássicos. 2. Espaços Homogéneos - Órbitas. Transitividade. Quocientes de grupos de Lie. Subgrupos de isotropia. Aplicações equivariantes. Exemplos. 3. Estrutura das álgebras de Lie semisimples - Álgebras de Lie nilpotentes e solúveis. Os teoremas de Engel e Lie. Álgebras de Lie simples e semisimples. Subálgebras de Cartan. Forma de Killing. Raízes de uma álgebra de Lie relativas a uma subálgebra de Cartan, e decomposição associada da álgebra de Lie. Este programa poderá ser demasiado longo, tendo em conta a duração do semestre.

Método de Avaliação

Exame final e trabalho suplementar.

Carga Horária

Bibliografia

Principal

• Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces : Sigurdur Helgason 1978
• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory : James E. Humphreys 1972
• Representation Theory of Semisimple Groups: An overview based on examples : Anthony W. Knapp 1986
• Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups : Wulf Rossmann 2002

Secundária

Disciplinas de Execução