Disciplina Curricular
Grupos e Álgebras de Lie (D) GAL
Doutoramento Bolonha em Matemática - 4_DMat 2022/23
Contextos
Grupo: 4_DMat 2022/23 > 3º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 93_Doutoramento em Matemática
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Introduzir a noção de Grupo de Lie em estreita ligação com a de Álgebra de Lie, assim como os resultados básicos desta teoria, com vista a habilitar os alunos tanto para a investigação nesta área como a usá-la como instrumento de resolução de problemas noutras áreas.
Programa
1. Grupos de Lie e Álgebras de Lie - Definições básicas. Parênteses de Lie sobre campos vectoriais. Campos vectoriais invariantes à esquerda. A aplicação exponencial. Representações adjuntas. Correspondência entre grupos de Lie conexos e álgebras de Lie. Os grupos e álgebras de Lie clássicos. 2. Espaços Homogéneos - Órbitas. Transitividade. Quocientes de grupos de Lie. Subgrupos de isotropia. Aplicações equivariantes. Exemplos. 3. Estrutura das álgebras de Lie semisimples - Álgebras de Lie nilpotentes e solúveis. Os teoremas de Engel e Lie. Álgebras de Lie simples e semisimples. Subálgebras de Cartan. Forma de Killing. Raízes de uma álgebra de Lie relativas a uma subálgebra de Cartan, e decomposição associada da álgebra de Lie.
Métodos de ensino e avaliação
Aulas expositivas com uma importante parte dedicada à resolução de problemas. Exame no final do semestre. Aos alunos de doutoramento será exigido um trabalho extra, como a apresentação de um tópico adicional.