Disciplina Curricular
Semigrupos de Operadores e Equações de Evolução (D) SOEE
Doutoramento Bolonha em Matemática - 4_DMat 2022/23
Contextos
Grupo: 4_DMat 2022/23 > 3º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 93_Doutoramento em Matemática
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Pretende-se familiarizar o aluno com alguns nos métodos mais comuns no estudo de equações diferenciais caracterizadas por evolução no tempo, incluindo a equação do calor e a equação das ondas. Tais equações podem ser formuladas como problemas de Cauchy abstractos, cuja solução é um semigrupo de operadores, uma função exponencial com valores num espaço de Banach. O estudo destes semigrupos leva a uma teoria rica na intersecção de Análise Funcional, Equações Diferenciais e Física-Matemática. Pretende-se dar uma introdução a esta teoria e alguns aspectos. Trata-se de um curso de leitura orientada, em que serão seguidas as lecture notes listadas na bibliografia principal (que serão fornecidas aos estudantes). Esta UC pressupõe familiaridade com os conceitos da Análise Funcional. Após conclusão da UC os estudantes poderão empregar técnicas avançadas no estudo de equações de evolução.
Programa
1. Operadores e semigrupos. Operadores ilimitados. O teorema espectral para operadores com resolvente compacto. Semigrupos e semigrupos auto-adjuntos. O teorema de Hille-Yosida. 2. Núcleos integrais. Núcleos e monotonia. Operadores submarkovianos. Continuidade. Aplicação ao Laplaciano num domínio. 3. Formas e semigrupos. Formas coercivas e elípticas. Contractividade. Formas fechadas e simétricas. 4. Positividade e irreducibilidade. Invariância de conjuntos convexos e fechados. Positividade e semigrupos submarkovianos. Os critérios de Beurling--Deny. Semigrupos irredutíveis. 5. Outros tópicos. Se houver tempo suficiente: uma selecção de: teoremas de Mercer e Abel e a lei de Weyl; ultracontractividade; estimativas gaussianas. A teoria de Perron--Frobenius. Valores próprios dominantes e funções próprias positivas. Na versão (D) da disciplina haverá mais aprofundamento dos temas 1 a 4, e será exigido o domínio de mais tópicos no capítulo 5.
Métodos de ensino e avaliação
Tratando-se de um curso de leitura orientada, será empregado o método do "flipped learning", através do qual os estudantes irão assimilar a matéria através de leitura e trabalho independentes antes das aulas, estes conteúdos serão discutidos posteriormente nas aulas. Avaliação: Os estudantes podem escolher entre 50% apresentações (nas aulas e/ou uma apresentação final), 50% exame final, ou 100% exame final. Na versão (D) haverá uma parte adicional do exame a cobrir os tópicos avançados; esta poderá, à discrição do docente e caso haja anuência dos estudantes, ser substituída por um trabalho adicional onde se estude um artigo de investigação recente, ou equivalente, numa área relevante para o programa da versão (D).