Disciplina Curricular
Análise Funcional Aplicada (D) AFA
Doutoramento Bolonha em Matemática - 4_DMat 2022/23
Contextos
Grupo: 4_DMat 2022/23 > 3º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 93_Doutoramento em Matemática
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Pretende-se dar uma introdução a certos tópicos da análise que surgem sobretudo no estudo de equações com derivadas parciais (EDPs) e problemas da Física-Matemática que não foram cobertos em disciplinas anteriores, em torno de medida de Lebesgue, construção de espaços de funções integráveis, simetrização de funções, distribuições, e aplicações ao estudo de operadores de Schrödinger e semelhantes. Trata-se de um curso de leitura orientada em que se propõe o estudo do manual Analysis, de Elliot Lieb e Michael Loss, como bibliografia principal. Outros livros e tópicos vizinhos podem ser abordados adicionalmente, caso haja interesse por parte dos estudantes. Assume-se uma boa formação em Análise Matemática. Conhecimentos de Análise Funcional e Teoria da Medida/Integração são vantajosos mas não são essenciais.
Programa
1. Medida e integração. Construção da medida de Lebesgue. Teoremas de convergência. Representação do bolo de bolacha e o princípio da banheira. Aproximação por funções simples e regulares. 2. Espaços L^p e simetrização. Desigualdades importantes. O espaço dual. Convolução e aproximação. Simetrização de funções. 3. A transformada de Fourier: A transformada nos espaços L^p, o teorema de Plancherel, inversão. 4. Distribuições, derivadas fracas e espaços de Sobolev: Funções teste e distribuições. A derivada de uma distribuição. Teoremas de cálculo para distribuições. Aproximação de distribuições. Os espaços de Sobolev. 5. Outros temas e aplicações: Uma selecção de: Desigualidades de Sobolev; operadores de Schrödinger; teoria espectral; ligação entre a transformada de Fourier, espaços de Sobolev, e a equação do calor. Na versão (D) da disciplina haverá mais aprofundamento dos temas 1 a 4, e será exigido o domínio de mais tópicos no capítulo 5.
Métodos de ensino e avaliação
Tratando-se de um curso de leitura orientada, será empregado o método do "flipped learning", através do qual os estudantes irão assimilar a matéria através de leitura e trabalho independentes antes das aulas, estes conteúdos serão discutidos posteriormente nas aulas. Avaliação: Os estudantes podem escolher entre 50% apresentações (nas aulas e/ou uma apresentação final), 50% exame final, ou 100% exame final. Na versão (D) haverá uma parte adicional do exame a cobrir os tópicos avançados; esta poderá, à discrição do docente e caso haja anuência dos estudantes, ser substituída por um trabalho adicional onde se estude um artigo de investigação recente, ou equivalente, numa área relevante para o programa da versão (D).