Disciplina Curricular
Geometria Riemanniana (D) GR-(D)
Doutoramento Bolonha em Matemática - 3_DMat 2016/17 - em vigor
Peso
7.5 (para cálculo da média)
Objectivos
O propósito deste curso avançado é introduzir os conceitos fundamentais da geometria Riemanniana. Pretende-se que os alunos adquiram uma formação básica para que possam posteriormente desenvolver e aprofundar aspectos e áreas mais específicas da Geometria Riemanniana, entrando no caminho da investigação. Como curso avançado, abordará tópicos como a teoria das subvariedades dando ênfase ao papel do tensor de curvatura Riemanniana. O teorema de Gauss-Bonnet, o teorema de Cartan-Hadamard, o teorema de Bonnet e o teorema de Ambrose-Cartan-Hicks. O teorema da comparação de Rauch e o teorema da esfera. Outra abordagem possível será o estudo da Geometria Semi-Riemanniana com aplicações à Teoria da Relatividade.
Programa
Variedades diferenciáveis. Fibrados vectoriais: fibrados tangente e cotangente; estrutura Riemanniana. Conexões afins: a derivada covariante; o transporte paralelo; geodésicas; o fluxo geodésico; a aplicação exponencial; vizinhanças normais. A conexão de Levi-Civita: conexões métricas e conexões simétricas; o teorema fundamental da Geometria Riemanniana; o transporte paralelo e a estrutura Riemanniana; o comprimento de arco; vizinhanças convexas; variedades completas; o Teorema de Hopf e Rinow; a variedade Riemanniana como espaço métrico. Curvatura: o tensor de curvatura e suas propriedades algébricas; curvatura seccional; variedades de curvatura seccional constante; variedades de Einstein; a curvatura e a métrica; campos de Jacobi; pontos conjugados; o teorema de Hadamard. Cálculo das Variações aplicado a geodésicas: o espaço de caminhos de uma variedade diferenciável; a energia de um caminho; o Hessiano do funcional energia; o teorema do índice de Morse. Alguns tópicos adicionais.
Métodos de ensino e avaliação
Exposição da matéria e resolução de exercícios. Exame final (obrigatório), trabalho extra em acordo com os tópicos adicionais (obrigatório) e uma componente de avaliação contínua (opcional).