Disciplina Curricular
Tópicos Avançados de Topologia Diferencial e Algébrica TATDA
Doutoramento Bolonha em Matemática - 4_DMat 2022/23
Contextos
Grupo: 4_DMat 2022/23 > 3º Ciclo > Parte Escolar > Opcionais > 93_Doutoramento em Matemática
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Pretende-se que os alunos obtenham conhecimentos básicos de Topologia Diferencial e Algébrica, nomeadamente em Teoria de Transversalidade, Teoria do Grau e Teoria de Morse, de modo a saberem aplicar estas ferramentas em outras disciplinas matemáticas.
Programa
• Homologia singular. • Grupo Fundamental. Homotopia • Relação entre Homologia e Homotopia • Generalidades sobre variedades e mapas entre variedades • Classificação local de mapas. Mergulhos e imersões. • Classificação local de campos de vectores e de campos escalares. Pontos e valores regulares e singulares/críticos. Lema de Morse. • Variedades com bordo. Campo normal exterior ao longo do bordo. Vizinhanças tubulares. Fluxos em variedades. • Teorema de Sard. Transversalidade. Teorema da transversalidade genérica. Campos de vectores genéricos. Funções de Morse. Orientações em espaços lineares e em variedades. Orientabilidade. Orientações induzidas nas pré-imagens e no bordo. • Teoria de Morse. Desigualdades de Morse. • Teoria do grau módulo 2. Teoria do grau de Brouwer. • Índice local de uma singularidade. Teorema de Poincaré-Hopf.
Métodos de ensino e avaliação
Aulas teóricas e aulas teórico-práticas com discussão exercícios e complementos sobre a matéria teórica. A avaliação terá duas componentes: uma contínua, consistindo de um exercício quinzenal, a valer 40% da nota final, mais o exame que valerá os restantes 60%. Aos alunos de doutoramento será atribuído um trabalho extra como ler a apresentar parte dum artigo de investigação sobre os tópicos cobertos.