Disciplina Curricular
Superfícies de Riemann e Modelos Integráveis SRMI
Doutoramento Bolonha em Matemática - 3_DMat 2016/17 - em vigor
Peso
7.5 (para cálculo da média)
Objectivos
O curso é uma introdução às Superfícies de Riemann e a teória dos Sistemas Integráveis clássicos.
Programa
O curso é dividido em 3 secções. 1. Superfícies de Riemann e Funções Theta. Semanas 1-7. i) Definição de Superfície de Riemann, o genus, o teorema de existência de Riemann, a fórmula de Riemann-Hurwtiz , a normalização de uma curva plana (em particular hyper-eliptica). ii) A mapa de Abel: diferencias olomorfos, a variedade Jacobiana, o teorema de Abel, o problema inverso de Jacobi. iii) Funções theta. iv) O grupo dos divisores, o teorema de Riemann-Roch. 2. Soluções algebro-geometrica das equações KdV e KP. Semanas 8-9. i) Funções de Baker-Akhiezer. ii) Soluções de KdV and KP pelas funcções de Baker-Akhiezer. 3. O sistema integrável de Hitchin. Semanas 10-14. i) Noções básica de cohomologia de feixos ii)Fibrados em linha. O grupo de Picard. iii) Fibrados vectoriais: dualidade de Serre, o teorema de Riemann-Roch, imagem direta de um fibrado, o teorema de Birkhoff-Grothendieck. iv)O sistema de Hitchin em genus 0. Bibliografia essencial: 1. Boris Dubrovin. ‘Theta functions and non-linear equations’. Russian mathematical surveys, 1981, 36.2: 11-92. 2. Simon Donaldson. ‘Riemann surfaces’. Oxford University Press, 2011. 3. Nigel Hitchin. ‘Riemann surfaces and integrable systems’. Oxford University Press, 1999. 4. Hershel Farkas and Irwin Kra. ‘Riemann surfaces’. Springer, 1992. 5. David Mumford. ‘Tata Lectures on Theta. I’. Birkhäuser, 2007. 6. Eugene Belokolos, et al. ‘Algebro-geometric approach to nonlinear integrable equations’. Springer, 1994.
Métodos de ensino e avaliação
• Avaliação continua dos exercícios propostos pelo docente. Peso 50%. • Um relatório escrito sobre um assunto tratado nas secções 1 e 2. Peso 25%. • Uma apresentação oral sobre um assunto relacionado com a secção 3. Peso 25%.