Disciplina Curricular
Análise Matemática III AM-III
Licenciatura Bolonha em Matemática - 4_LMat 2022/23
Contextos
Grupo: 4_LMat 2022/23 > 1º Ciclo > Matemática - Tronco Comum
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Revisitar conteúdos das disciplinas de Análise Matemática I e II a um nível mais profundo e rigoroso e completar conhecimentos, no que se refere a: aspectos topológicos de R e R^n e teoremas fundamentais da continuidade, com uma introdução aos espaços normados e métricos e um exemplo aprofundado de espaços de funções contínuas; o cálculo diferencial de aplicações de R^n para R^m e os seus teoremas fundamentais; a integração em R e R^n. Os alunos devem ficar com uma formação sólida em Análise Matemática, ser capazes de manejar estes temas com à vontade e de os aplicar em outros cursos/disciplinas, tais como a problemas de otimização e de equações diferenciais. Pré-requisitos aconselháveis: Análise Matemática I e II, ALGA I.
Programa
(1) Axiomas de R e consequências. Sucessões monótonas, limites superior e inferior, sucessões de Cauchy, completude de R. (2) Espaços métricos: métricas, normas, noções topológicas. Compacidade e completude. Teorema de Weierstrass para funções reais. Contrações em espaços métricos. (3) Funções contínuas entre espaços métricos. Sucessões e séries de funções: convergência pontual e uniforme. O espaço C[a,b]. (4) Integrais paramétricos. Continuidade uniforme. Integrais paramétricos próprios e impróprios. (5) Funções de R^n em R^m: continuidade uniforme. A derivada de Fréchet. Teoremas da Função Inversa e das Funções Implícitas. Variedades de dimensão n. Extremos condicionados, multiplicadores de Lagrange. (6) Construção do integral de Riemann em R^n, conjuntos desprezíveis, o critério de Riemann--Lebesgue. Motivação para o integral de Lebesgue. Teoremas de convergência para o integral de Lebesgue.
Métodos de ensino e avaliação
Os conteúdos do programa são introduzidos e desenvolvidos nas aulas teóricas, promovendo-se a compreensão de conceitos, teoremas e demonstrações através de exemplos ilustrativos ou de aplicação a casos particulares. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos e discutidos exercícios das fichas de trabalho semanais, ficando os restantes para o trabalho autónomo que os estudantes devem realizar. No horário de atendimento semanal são esclarecidas dúvidas. Avaliação: até 10% em componente avaliação contínua (facultativa); 40% em componente avaliação parcial (um teste, facultativo); 50-100% em exame final escrito e, caso o docente julgue necessário, uma prova para confirmação de nota. As componentes facultativas serão incluídas na nota final se e só se isso beneficiar o/a aluno/a, o peso do exame será ajustado consoante a inclusão ou não das outras componentes. Os pormenores da aval. contínua estarão na página Moodle da disciplina. Regras particulares aplicam-se à época especial.