Disciplina Curricular
Análise Matemática III AM-III
Licenciatura Bolonha em Matemática - 3_Plano 2015/16 a 2021/22
Contextos
Grupo: 3_Plano 2015/16 a 2021/22 > 1º Ciclo > -
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Revisitar conteúdos das disciplinas de Análise Matemática I e II a um nível mais profundo e rigoroso e completar conhecimentos, no que se refere a: aspectos topológicos de R e R^n e teoremas fundamentais da continuidade, com uma introdução aos espaços normados e métricos; o cálculo diferencial de aplicações de R^n para R^m e os seus teoremas fundamentais; a integração em R e R^n, incluindo uma introdução ao integral de Lebesgue. Os alunos devem ficar com uma formação sólida em Análise Matemática, ser capazes de manejar estes temas com à vontade e de os aplicar em outros cursos/disciplinas, tais como a problemas de otimização e de equações diferenciais. Pré-requisitos aconselháveis: Análise Matemática I e II, ALGA I.
Programa
(1) Axiomas de R e consequências. Sucessões monótonas, limites superior e inferior, sucessões de Cauchy, completude de R. (2) Espaços métricos: métricas, normas, noções topológicas. Compactos. O espaço C[a,b]. Teorema de Weierstrass para funções reais. Contrações em espaços métricos. (3) Sucessões e séries de funções: convergência pontual e uniforme. (4) Funções de R^n em R^m: continuidade uniforme. A derivada de Fréchet. Teoremas da Função Inversa e das Funções Implícitas. Variedades de dimensão n. Extremos condicionados, multiplicadores de Lagrange. (5) Construção do integral de Riemann em R^n, conjuntos desprezíveis, o critério de Riemann--Lebesgue. Integrais paramétricos e impróprios. Passagem ao limite sob o sinal do integral. Motivação para o integral de Lebesgue. Teoremas de convergência para o integral de Lebesgue.
Métodos de ensino e avaliação
Os conteúdos do programa são introduzidos e desenvolvidos nas aulas teóricas, promovendo-se a compreensão de conceitos, teoremas e demonstrações através de exemplos ilustrativos ou de aplicação a casos particulares. Nas aulas teórico-práticas são resolvidos e discutidos exercícios das fichas de trabalho semanais, ficando os restantes para o trabalho autónomo que os estudantes devem realizar. No horário de atendimento semanal são esclarecidas dúvidas. Avaliação: até 10% em componente avaliação contínua (facultativa); 45% em componente avaliação parcial (um TPC e um teste, facultativos); 45-100% em exame final escrito e, caso o professor julgue necessário, uma prova para confirmação de nota. As componentes facultativas serão incluídas na nota final se e só se isso beneficiar o/a aluno/a, o peso do exame será ajustado consoante a inclusão ou não das outras componentes. Os pormenores da aval. contínua estarão na página Moodle da disciplina. Regras particulares aplicam-se à época especial.