Disciplina Curricular
Análise Matemática III AM-III
Licenciatura Bolonha em Matemática Aplicada - 4_LMA 2022/23
Contextos
Grupo: 4_LMA 2022/23 > 1º Ciclo > Matemática Aplicada - Tronco Comum
Período:
Peso
6.0 (para cálculo da média)
Objectivos
Revisitar conteúdos das disciplinas de Análise Matemática I e II a um nível mais profundo e rigoroso e completar conhecimentos, no que se refere a: aspectos topológicos de R e R^n e teoremas fundamentais da continuidade, com uma introdução aos espaços normados e métricos e um exemplo aprofundado de espaços de funções contínuas; o cálculo diferencial de aplicações de R^n para R^m e os seus teoremas fundamentais; a integração em R e R^n. Os alunos devem ficar com uma formação sólida em Análise Matemática, serem capazes de manejar estes temas com à vontade e de os aplicar em outros cursos/disciplinas, tais como a problemas de otimização e de equações diferenciais. Pré-requisitos aconselháveis: Análise Matemática I e II, ALGA I.
Programa
(1) Axiomas de R e consequências. Sucessões monótonas, limites superior e inferior, sucessões de Cauchy, completude de R. (2) Espaços métricos: métricas, normas, noções topológicas. Compacidade e completude. (3) Funções contínuas entre espaços métricos. Teorema de Weierstrass para funções reais. Sucessões e séries de funções: convergência pontual e uniforme. O espaço C[a,b]. Funções lipschitzianas, contrações, o T. Ponto Fixo de Banach. (4) Integrais paramétricos. Continuidade uniforme. Integrais paramétricos próprios e impróprios. (5) Funções de R^n em R^m: continuidade uniforme. A derivada de Fréchet. Teoremas da Função Inversa e das Funções Implícitas. Variedades de dimensão n. Extremos condicionados, multiplicadores de Lagrange. (6) Caso haja tempo: Construção do integral de Riemann em R^n, conjuntos desprezíveis, o critério de Riemann--Lebesgue. Motivação para o integral de Lebesgue. Teoremas de convergência para o integral de Lebesgue.
Métodos de ensino e avaliação
Avaliação contínua até 8 valores, baseada na participação de cada aluno nas aulas TP, ao longo do semestre, incidindo principalmente na apresentação de resoluções no quadro. Exame escrito para 20-AC valores, sendo AC a nota obtida por cada aluno na avaliação contínua.