31 Agosto 2018, 19:45 • Fernando Abel da Conceição Silva

Resumo

Esta disciplina da licenciatura em Matemática pretende complementar e aprofundar os conhecimentos de Álgebra e é dedicada principalmente ao estudo dos polinómios e da teoria de Galois.

Pressupõe-se que os estudantes já conhecem os conceitos de grupo, anel, corpo, espaço vetorial, os conceitos associados (subestruturas, homomorfismos, quocientes,...) e as suas propriedades elementares. Presupõe-se também que os estudantes já conhecem o grupo simétrico e a teoria da divisibilidade em domínios integrais. Na Faculdade de Ciências, estas matérias são lecionadas nas disciplinas de Álgebra Linear e Geometria Analítica I e II e Álgebra I e II do primeiro ciclo.

Programa detalhado previsto para 2018-19

Este programa poderá ter pequenas alterações.

0. Preliminares
Breve revisão e complementos de alguns tópicos de disciplinas anteriores.

1. Grupos
Ações de grupos. Teorema de Cauchy. Exemplos de grupos e aplicações. Subgrupos finitos do grupo multiplicativo de um corpo. Grupos resolúveis.

2. Módulos, álgebras e polinómios
Módulos sobre anéis. Álgebras sobre anéis comutativos. Álgebras de polinómios. Teorema da base de Hilbert. Variedades algébricas. Topologia de Zariski.

3. Teoria de Galois
Generalidades sobre extensões de corpos. Extensões normais. Extensões separáveis. Grupos de Galois. Extensões de Galois. Teorema fundamental da teoria de Galois. Raízes primitivas da unidade. Resolubilidade por radicais. Critério de Galois. Um polinómio que não é resolúvel por radicais.

4. Revisitar o teorema fundamental da Álgebra
Polinómios simétricos. Teorema fundamental da Álgebra. Números algébricos e números inteiros algébricos. Números transcendentes. Transcendência de \(e\) e de \(\pi\).

Alguns tópicos serão apresentados de forma abreviada nas aulas e alguns tópicos não serão requeridos para avaliação. Ao longo do semestre, os estudantes serão informados do que é requerido para a avaliação.

Bibliografia

Bibliografia principal

● Texto de apoio (última atualização: 24-ago-2018).
● As referências bibliográficas neste texto dizem respeito à lista seguinte.
● [Brison] O. J. Brison, Teoria de Galois, 4ª ed., Departamento de Matemática da FCUL., 2003.
● [Fine&al] B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, Springer, 1997.
● [Freitas] P. J. Freitas, Polinómos, Departamento de Matemática da FCUL, 2010.
● [Hungerford-2] T. W. Hungerford, Abstract Algebra, An Introduction, 3^rd ed., Brooks/Cole, 2013.

Outras referências bibliograficas

● [Cameron] P. J. Cameron, Introduction to Algebra, 2^nd ed., Oxford (book web page), 2008.
● [Fabian&al] M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory, Springer, 2011.
● [Hall] B. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, 2^nd ed., Springer, 2015.
● [Hungerford] T. W. Hungerford, Algebra, Springer, 1974.
● [Prasolov] V. V. Prasolov, Polynomials, Springer, 2004.

Avaliação

Os alunos podem optar pela avaliação por dois testes parciais ou por exame final. A avaliação pode ser complementada com uma prova oral quando o professor entender que tal é necessário para aferição da classificação final.

Atualizado em 31-ago-2018.
Fernando Silva <fasilva@ciencias.ulisboa.pt>