Demonstração de que, num espaço métrico completo, o interior da união numerável de uma sucessão de subconjuntos fechados com interior vazio é ainda vazia (teorema de Baire); como consequência, se esse espaço métrico completo for a união numerável de subconjuntos fechados, pelo menos um destes tem interior não vazio. Como consequência, o teorema da limitação uniforme de Banach-Steinhaus é válido para um conjunto arbitrário (não necessariamente numerável) de operadores lineares contínuos entre um espaço de Banach e um espaço vetorial normado.