Disciplina Curricular
Grupos e álgebras de Lie (D) GaL-D
Doutoramento Bolonha em Matemática - 3_DMat 2016/17 - em vigor
Peso
7.5 (para cálculo da média)
Objectivos
O objectivo deste curso avançado é introduzir a noção de Grupo de Lie em estreita ligação com a de Álgebra de Lie, assim como os resultados básicos desta teoria, com vista a habilitar os alunos tanto para a investigação nesta área como a usá-la como instrumento de resolução de problemas noutras áreas. Como curso avançado, incidirá eventualmente em alguns dos seguintes tópicos: teoria da representação dos grupos de Lie compactos conexos; integração em grupos de Lie; medidas de Haar; representações de grupos de Lie; toros maximais; a fórmula integral de Weyl; o lema de Schur; coeficientes e carácter de uma representação; o teorema de Peter-Weyl. As aplicações a considerar estarão relacionadas com as escolhas pessoais do docente. Exemplos: equações diferenciais, espaços simétricos.
Programa
1. Grupos de Lie e Álgebras de Lie - Definições básicas. Parênteses de Lie sobre campos vectoriais. Campos vectoriais invariantes à esquerda. A aplicação exponencial. Representações adjuntas. Correspondência entre grupos de Lie conexos e álgebras de Lie. Os grupos e álgebras de Lie clássicos. 2. Espaços Homogéneos - Órbitas. Transitividade. Quocientes de grupos de Lie. Subgrupos de isotropia. Aplicações equivariantes. Exemplos. 3. Estrutura das álgebras de Lie semisimples - Álgebras de Lie nilpotentes e solúveis. Os teoremas de Engel e Lie. Álgebras de Lie simples e semisimples. Subálgebras de Cartan. Forma de Killing. Raízes de uma álgebra de Lie relativas a uma subálgebra de Cartan, e decomposição associada da álgebra de Lie. Este programa poderá ser demasiado longo, tendo em conta a duração do semestre.
Métodos de ensino e avaliação
Exame final e trabalho suplementar.