Sumários
T21 Aula 7
17 Março 2026, 14:00 • Isabel Ferreirim
Domínios de factorização única. Definição e exemplos (Inteiros, qualquer corpo, anel de polinómios numa indeterminada com coeficientes num corpo; o exemplo negativo de Z[\sqrt{5}i]).
Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum num anel comutativo: definição e algumas observações.
Num DFU, qualquer par de elementos tem mdc.
Todo o DIP é um domínio de fatorização única: enunciado.
Enunciado e demonstração de lemas conducentes ao resultado: 1. A união de uma cadeia de ideais num anel comutativo é ideal. 2. Num DFU toda a cadeia asecendente de ideais é estacionária. 3. Num DIP todo o elemento não nulo nem unidade é produto de (um ou mais) irredutíveis.
TP21 Aula 3
13 Março 2026, 16:30 • Isabel Ferreirim
Folhas 2 e 3 (Anéis): discussão e resolução dos exercícios 18, 19, 28, 29, 31 e 32.
T21 Aula 6
11 Março 2026, 13:30 • Isabel Ferreirim
Elementos primos e elementos irredutíveis num anel comutativo.
Se um ideal principal é maximal, o seu gerador é elemento irredutível; num DIP, cada elemento irredutível gera um ideal maximal.
Definição de elemento primo.
Num domínio de integridade todo o elemento primo é irredutível; num DIP todo o elemento é irredutível se e só se é primo.
Num DIP, o anel quociente por um ideal principal é corpo se e só se o gerador do ideal for elemento irredutível. Domínios euclidianos: definição, propriedades, exemplos.
Todo o domínio euclidiano é DIP.
T21 Aula 5
10 Março 2026, 14:00 • Isabel Ferreirim
Ideais primos e ideais maximais num anel comutativo: definição, exemplos e alguns
resultados. Um ideal M de R é maximal se se só se R/M for corpo. Exemplo de ideais maximais do anel dos inteiros.
Definição de ideal primo de um anel comutativo. Um ideal I de R é primo se e só se R/I é domínio de integridade. Exemplos de ideais primos do anel dos inteiros. Todo o ideal maximal é primo. Definição de domínio de ideais principais (DIP).
Definição de elemento irredutível num anel comutativo.
Definição de domínio de ideais principais. O exemplo do anel dos inteiros.
TP21 Aula 2
6 Março 2026, 16:30 • Isabel Ferreirim
Folha 2 (Anéis): Discussão e resolução dos exercícios 11 - 14, 20 - 25.