Matemática Computacional
2025-26

docente : Cristian Barbarosie gabinete 6.2.28, e-mail cabarbarosie@fc.ul.pt

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As notas dos trabalhos encontram-se no fenix, na secção "divulgação de resultados".

As notas do exame de 06.15 serão divulgadas na sexta-feira dia 19. A consulta de exames e eventuais provas orais serão realizadas na segunda-feira dia 22 às 10:30 na sala 6.2.41.

Não será usada a plataforma Moodle.

Avaliação

A avaliação terá duas componentes : trabalhos práticos e exame final.

Os trabalhos são individuais e diferentes de aluno para aluno. Cada aluno deverá escolher (duma lista) trabalhos cujo valor somado deve estar entre 2 e 10. Os trabalhos devem ser entregues até ao dia do exame de primeira data.

Os trabalhos podem ser resolvidos em grupo; nesse caso, a cotação será dividida entre os membros do grupo.

O exame final vai focar sobre a parte teórica, valerá entre 10 e 18 valores, em função da escolha dos trabalhos.

Exemplo : o aluno A escolhe trabalhos no valor total 5, mas o professor considera o resultado insatisfatório e o aluno fica com a nota 3. O aluno B escolhe trabalhos no valor total 10, o professor avalia esses trabalhos em 9. O aluno A faz o exame para 15 valores, o aluno B faz o mesmo exame para 10 valores.

Os trabalhadores estudantes têm o direito de fazer o exame para 20 valores, desde que não escolham, durante o semestre, nenhum trabalho.

No exame de segunda data, o aluno poderá escolher entre manter a nota dos trabalhos práticos ou fazer exame para 20 valores.

No exame é permitido o uso de calculadoras gráficas. Cada aluno pode ter uma folha A4 com apontamentos, escrita de ambos os lados.

Perguntas modelo para exame : 
contracção : 1 2 3

Trabalhos práticos

1. geometria computacional

TP-1-1 (1v) Dada uma linha poligonal (uma lista de segmentos), calcular o seu perímetro. Bonus 1v para representação gráfica. Atribuído a Tomás Vieira

TP-1-2 (3v)  Dado um polígono convexo (como lista de segmentos), calcular a sua área. Bonus 2v para polígonos não convexos. Bonus 1v para representação gráfica. Atribuído a Tomás Vieira

TP-1-3 (2v) Dado um raio r e um número natural n, construir uma lista de n segmentos que aproxime uma circunferência de raio r. Bonus 1v para representação gráfica. Atribuído a Maria Pereira

TP-1-4 (3v) Dados três pontos A,B e C e um número natural n, dividir o triângulo ABC em triângulos mais pequenos. Bonus 3v para arestas curvas. Bonus 2v para representação gráfica. Atribuído a Beatriz Cachuco

TP-1-5  (3v) Dados quatro pontos A, B, C e D e dois números naturais m e n, dividir o quadrilátero ABCD em quadriláteros mais pequenos. Bonus 3v para arestas curvas. Bonus 2v para representação gráfica. Atribuído a Matilde Martins

TP-1-6 (6v) Dada uma região plana e o tamanho s, dividir a região em triângulos com arestas de comprimento aproximadamente igual a s. Bonus 4v para regiões com buracos. Bonus 2v para representação gráfica. Atribuído a António Moniz


TP-1-7 (6v) Dada uma região plana e um tamanho s, encher o interior da região com quadrados de aresta s. Bonus 3v para juntar quadrados vizinhos em quadrados maiores. Bonus 2v para representação gráfica. Atribuído a Xiaoji Wu


2. álgebra linear, métodos directos de resolução de sistemas

TP-2-1 (4v) Calcule o determinante duma matriz quadrada como soma de produtos de elementos da matriz, tomando em conta todas as permutações possíveis dos índices. Atribuído a Francisco Barata

TP-2-2 (4v) Calcule o determinante duma matriz quadrada desenvolvendo ao longo duma linha ou coluna. Atribuído a Manuel Duarte

TP-2-3 (4v) Implemente o algoritmo de eliminação de Gauss. Atribuído a Mafalda Cruz

TP-2-4 (4v) No trabalho TP-2-3, acrescente procura de pivot (trocando linhas). Atribuído a Eva Madureira

TP-2-5 (4v) No trabalho TP-2-3, acrescente procura total de pivot (trocando linhas e colunas). Atribuído a Daniela Dimas

TP-2-6 (3v) Adapte o trabalho TP-2-3 para matrizes tri-diagonais. Bonus 2v para matrizes com estrutura de banda. Atribuído a Rita Luwisch e Beatriz Arruda

TP-2-7 (4v) Adapte o trabalho TP-2-3 para resolver simultaneamente vários sistemas de equações, com a mesma matriz A mas com diferentes vectores b. Atribuído a Francisco Barata

TP-2-8 (4v) Adapte o trabalho TP-2-4 para resolver simultaneamente vários sistemas de equações, com a mesma matriz A mas com diferentes vectores b. Atribuído a Eva Madureira

TP-2-9 (4v) Adapte o trabalho TP-2-5 para resolver simultaneamente vários sistemas de equações, com a mesma matriz A mas com diferentes vectores b.

3. álgebra linear, métodos iterativos de resolução de sistemas

TP-3-1 (4v) Implemente o método de Gauss-Seidel. Atribuído a Gerson Pena

TP-3-2 (4v) No trabalho TP-3-1, acrescente procura de pivot (troca de linhas). Atribuído a Gerson Pena

TP-3-3 (4v) No trabalho TP-3-1, acrescente procura total de pivot (troca de linhas e de colunas). Atribuído a Maria Matos

TP-3-4 (3v) No trabalho TP-3-1, acrescente relaxação. Atribuído a Inês Lobo

TP-3-5 (3v) Adapte o trabalho TP-3-1 para matrizes com estrutura de banda. Atribuído a Inês Lobo

TP-3-6 (3v) Adapte o trabalho TP-3-4 para matrizes com estrutura de banda. Atribuído a Inês Lobo

4. valores e vectores próprios

TP-4-1 (5v) Implemente o método da potência. Atribuído a Rodrigo Filipe

TP-4-2 (3v) Implemente o método da potência com translação. Atribuído a Rodrigo Filipe

TP-4-3 (4v) Implemente o método da potência inversa, usando a cada passo a técnica descrita em TP-2-7.

TP-4-4 (4v) Implemente o método da potência inversa, usando a cada passo a técnica descrita em TP-2-8. Atribuído a Lara Santos

TP-4-5 (4v) Implemente o método da potência inversa, usando a cada passo a técnica descrita em TP-2-9.

TP-4-6 (4v) Implemente o método da potência inversa, usando a cada passo a técnica descrita em TP-3-1. Atribuído a Eduardo Martins

TP-4-7 (4v) Implemente o método da potência inversa, usando a cada passo a técnica descrita em TP-3-4

TP-4-8 (3v) No trabalho TP-4-3, acrescente uma translação.

TP-4-9 (2v) No trabalho TP-4-4, acrescente uma translação. Atribuído a Lara Santos

TP-4-10 (3v) No trabalho TP-4-5, acrescente uma translação.

TP-4-11 (3v) No trabalho TP-4-6, acrescente uma translação. Atribuído a Eduardo Martins

TP-4-12 (3v) No trabalho TP-4-7, acrescente uma translação.

TP-4-13 (5v) Implemente o método da potência com projecção. Atribuído a Miguel Esteves

5. resolução de equações numa variável

TP-5-1 (3v) Implemente o método da bissecção. Atribuído a Miguel Esteves

TP-5-2 (3v) Implemente o método do ponto fixo. Atribuído a Eduardo Martins

TP-5-3 (3v) Implemente o métodoo da bissecção. Atribuído a Daniela Dimas e Maria Pereira

TP-5-4 (3v) Implemente o método da secante. Atribuído a Manuel Duarte

TP-5-5 (3v) Implemente o método da falsa posição. Atribuído a Maria Matos

6. resolução de sistemas de equações não lineares

TP-6-1 (4v) Implemente o método do ponto fixo para sistemas de equações. Atribuído a Xiaoji Wu

TP-6-2 (5v) Implemente o método de Newton para sistemas de equações. A cada passo, o sistema de equações lineares deve ser resolvido através de eliminação de Gauss. Atribuído a Miguel Figueira

TP-6-3 (5v) Implemente o método de Newton para sistemas de equações. A cada passo, o sistema de equações lineares deve ser resolvido através de eliminação de Gauss com troca de linhas. Atribuído a Miguel Figueira

TP-6-4 (5v) Implemente o método de Newton para sistemas de equações. A cada passo, o sistema de equações lineares deve ser resolvido através de eliminação de Gauss com troca de linhas e de colunas. Atribuído a Rita Luwisch e Beatriz Arruda

TP-6-5 (5v) Implemente o método de Newton para sistemas de equações. A cada passo, o sistema de equações lineares deve ser resolvido através do algoritmo de Gauss-Seidel. O passo anterior deve ser usado para inicializar o algoritmo de Gauss-Seidel

TP-6-6 (5v) Implemente o método de Newton para sistemas de equações. A cada passo, o sistema de equações lineares deve ser resolvido através do algoritmo de Gauss-Seidel com relaxação. O passo anterior deve ser usado para inicializar o algoritmo de Gauss-Seidel

7. optimização numa variável

TP-7-1 (3v) Implemente o método do gradiente para calcular pontos de mínimo duma função. Atribuído a Daniela Dimas e Maria Pereira

TP-7-2 (3v) Implemente o método da bissecção para calcular pontos de extremo duma função. Atribuído a Daniela Dimas

TP-7-3 (3v) Implemente o método do ponto fixo para calcular pontos de extremo duma função. Atribuído a Maria Matos

TP-7-4 (3v) Implemente o método de Newton-Raphson para calcular pontos de extremo duma função. Atribuído a Maria Pereira

TP-7-5 (3v) Implemente o método da secante para calcular pontos de extremo duma função. Atribuído a Tomás Vieira

TP-7-6 (3v) Implemente o método da falsa posição para calcular pontos de extremo duma função. Atribuído a Manuel Duarte

8. optimização em várias variáveis

TP-8-1 (3v) Implemente o  método do gradiente. Atribuído a Mafalda Cruz

TP-8-2 (3v) Implemente o método do ponto fixo para encontrar pontos de extremo. Atribuído a Mafalda Cruz

TP-8-3 (4v) Implemente o método de Newton para encontrar pontos de extremo. Atribuído a Lara Santos

TP-8-4 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para constrangimentos de tipo caixa rectangular. Atribuído a Rita Luwisch e Beatriz Arruda

TP-8-5 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para constrangimentos de tipo x2 + y2 + z2 <= R2. Atribuído a Beatriz Cachucho e Matilde Martins

TP-8-6 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para constrangimentos de tipo x2 + y2 + z2 = R2

TP-8-7 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para constrangimentos de tipo ax + by + cz <= d

TP-8-8 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para constrangimentos de tipo ax + by + cz = d. Atribuído a Miguel Esteves e Rodrigo Filipe

TP-8-9 (4v) Implemente o método do gradiente com penalização para constrangimentos de tipo x2 + y2 + z2 <= R2

TP-8-10 (4v) Implemente o método do gradiente com penalização para constrangimentos de tipo ax + by + cz <= d