Sumários
Aula 7: Operadores integrais com núcleo, e a fórmula de Weyl
11 Abril 2024, 11:30 • James Kennedy
Material de leitura principal: Arendt capítulo 6.
Temas: Operadores integrais associados a um núcleo (kernel operators). O teorema de Mercer. A transformada de Laplace para medidas e o teorema de Karamata, com aplicação à medida espetral/função de contagem dos valores próprios (eigenvalue counting function) do Dirichlet-Laplaciano. Estimativas para o núcleo associado ao Dirichlet-Laplaciano, e derivação da assíntota de Weyl.
Exercício 1 (discussão/esboço), 1 (da ficha "semana 7").
Aula 6: Espaços de funções contínuas
4 Abril 2024, 11:30 • James Kennedy
Material de leitura principal: Arendt capítulo 5.
Temas: O Laplaciano e o semigrupo em espaços de funções contínuas. Os semigrupos em R^n e o gaussiano. Consistência dos semigrupos. Domínios limitados: o semigrupo em C_0, Dirichlet regularidade, o princípio do máximo (elíptico e parabólico). Continuidade do núcleo calórico até à fronteira.
Exercícios 2, 4 (discussão/esboço), 1 (da ficha "semana 5".
Aula 5: Dominação, monotonia e interpolação
21 Março 2024, 11:30 • James Kennedy
Material de leitura principal: Arendt capítulo 4.
Temas: Núcleos e o teorema de Dunford--Pettis. Positividade e comparação dos núcleos calóricos. Operadores submarkovianos. Interpolação entre espaços L^p, Riesz--Thorin. Aplicação a C_0-semigrupos em L^p.
Aula 4: O Laplaciano
14 Março 2024, 11:30 • James Kennedy
Material de leitura principal: Arendt capítulo 3.
Temas: O Laplaciano no sentido das distribuições. Derivadas fracas e espaços de Sobolev. O semigrupo gerado pelo Laplaciano com condições de Dirichlet/Neumann. A positividade deste. A desigualdade de Poincaré e a estabilidade do semigrupo de Dirichlet.
Aula 3: Semigrupos
7 Março 2024, 11:30 • James Kennedy
Material de leitura principal: Arendt capítulo 2.
Temas:
Integrais com valores num espaço de Banach. Semigrupos. O gerador de um semigrupo. Semigrupos auto-adjuntos e compactos. O teorema de geração de Hille--Yosida. Semigrupos holomorfos.