2023-24

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Enunciado do exame de segunda data.

Enunciado e resolução do exame de primeira data.

Não será usada a plataforma Moodle.

Avaliação

A avaliação terá duas componentes : trabalhos práticos e exame final.

Os trabalhos são individuais e diferentes de aluno para aluno. Cada aluno deverá escolher (duma lista) trabalhos cujo valor somado deve estar entre 2 e 10. Os trabalhos devem ser entregues até ao dia do exame de primeira data.

Os trabalhos podem ser resolvidos em grupo; nesse caso, a cotação será dividida entre os membros do grupo.

O exame final vai focar sobre a parte teórica, valerá entre 10 e 18 valores, em função da escolha dos trabalhos.

Exemplo : o aluno A escolhe trabalhos no valor total 5, mas o professor considera o resultado insatisfatório e o aluno fica com a nota 3. O aluno B escolhe trabalhos no valor total 10, o professor avalia esses trabalhos em 9. O aluno A faz o exame para 15 valores, o aluno B faz o mesmo exame para 10 valores.

No exame de segunda data, o aluno poderá escolher entre manter a nota dos trabalhos práticos ou fazer exame para 20 valores.

No exame é permitido o uso de calculadoras gráficas. Cada aluno pode ter uma folha A4 com apontamentos, escrita de ambos os lados.

Perguntas modelo para exame : 
contracção : 1 2 3

Trabalhos práticos

Geometria computacional (ver também o projecto maniFEM)

trabalho 1.1 (5v,7v) Implementar um método para calcular a área dum polígono com n arestas (caso convexo, caso geral). Atribuído a Matilde Robalo

trabalho 1.2 (5v) Dados três vértices A, B e C e um inteiro n, construir uma lista de triângulos (uma malha sobre ABC). Atribuído a Marta Martins

trabalho 1.3 (5v) Adaptar o trabalho 1.2 para arestas curvas (fornecidas como listas de segmentos). Atribuído a Marta Martins

trabalho 1.4 (5v) Dados quatro vértices A, B, C e D e dois inteiros m e n, construir uma lista de quadriláteros (uma malha sobre ABCD). Atribuído a Beatriz Amorim e Ema Cunha.

trabalho 1.5 (5v) Adaptar o trabalho 1.4 para arestas curvas (fornecidas como listas de segmentos).

trabalho 1.6 (7v) Dada uma curva fechada (como lista de pontos), preencher o interior com triângulos, mantendo o tamanho dos segmentos quase constante. Atribuído a Rita Rodrigues e Catarina Correia

trabalho 1.7 (7v) Generalizar o algoritmo do trabalho 1.6 para domínios com buracos

trabalho 1.8 (5v) Implementar uma função que crie, a partir duma lista de triângulos ou de quadriláteros, uma representação gráfica. Atribuído a Carolina Leira

Sistemas de equações lineares, métodos directos

trabalho 2.1 (4v) Implementar o método de eliminação de Gauss para resolver um sistema de equações lineares. A matriz é assumida quadrada e invertível. Atribuído a Pedro Ramos

trabalho 2.2 (4v) Acrescentar ao trabalho 2.1 procura de pivôt (troca de linhas). Atribuído a Carolina Dias

trabalho 2.3 (4v) Acrescentar ao trabalho 2.1 procura total de pivôt (troca de linhas e de colunas). Atribuído a Pedro Liu

trabalho 2.4 (4v) Adaptar o trabalho 2.1 para matrizes com estrutura de banda. Atribuído a Beatriz Amorim e Ema Cunha.

trabalho 2.5 (4v) Adaptar o trabalho 2.1 para resolver muitos sistemas com a mesma matriz mas com vectores diferentes. Atribuído a Beatriz Amorim e Ema Cunha.

trabalho 2.6 (2v) Adaptar o trabalho 2.2 para resolver muitos sistemas com a mesma matriz mas com vectores diferentes. Atribuído a Pedro Liu

trabalho 2.7 (4v) Adaptar o trabalho 2.3 para resolver muitos sistemas com a mesma matriz mas com vectores diferentes. Atribuído a Pedro Liu

Sistemas de equações lineares, métodos iterativos

trabalho 3.1 (4v) Implementar o método de Gauss-Seidel. Atribuído a Madalena Lopes

trabalho 3.2 (4v) Implementar o método de Gauss-Seidel com troca de linhas. Atribuído a Andreia Marinheiro

trabalho 3.3 (4v) Implementar o método de Gauss-Seidel com troca de linhas e de colunas. Atribuído a Beatriz Amorim e Ema Cunha.

trabalho 3.4 (3v) Implementar o método de Gauss-Seidel com relaxação. Atribuído a Cristiana Cancela

trabalho 3.5 (3v) Adaptar o trabalho 3.1 para matrizes com estrutura de banda. Atribuído a Carolina Dias

trabalho 3.6 (3v) Adaptar o trabalho 3.4 para matrizes com estrutura de banda. Atribuído a Beatriz Amorim e Ema Cunha.

Valores e vectores próprios

trabalho 4.1 (5v) Implementar o método da potência. Atribuído a Daniela Louro

trabalho 4.2 (3v) Acrescentar ao trabalho 4.1 uma translação de modo a obter o valor próprio no outro extremo do espectro. Atribuído a Anita Torres

trabalho 4.3 (5v) Implementar o método da potência inversa, resolvendo a cada passo o sistema linear através de eliminação de Gauss. Tendo em vista que o processo será repetido muitas vezes, deve ser usada a técnica descrita no trabalho 2.5.

trabalho 4.4 (5v) Implementar o método da potência inversa, resolvendo a cada passo o sistema linear através de eliminação de Gauss com troca de linhas. Tendo em vista que o processo será repetido muitas vezes, deve ser usada a técnica descrita no trabalho 2.6.

trabalho 4.5 (5v) Implementar o método da potência inversa, resolvendo a cada passo o sistema linear através de eliminação de Gauss com troca de linhas e de colunas. Tendo em vista que o processo será repetido muitas vezes, deve ser usada a técnica descrita no trabalho 2.7.

trabalho 4.6 (5v) Implementar o método da potência inversa, resolvendo a cada passo o sistema linear usando o método de Gauss-Seidel. Aproveitar o vector da iteração anterior para inicializar o algoritmo de Gauss-Seidel. Atribuído a Ana Jorge

trabalho 4.7 (5v) Implementar o método da potência inversa, resolvendo a cada passo o sistema linear usando o método de Gauss-Seidel com relaxação. Aproveitar o vector da iteração anterior para inicializar o algoritmo de Gauss-Seidel com relaxação. Atribuído a Cristiana Cancela

trabalho 4.8 (5v) Acrescentar ao trabalho 4.3 uma translação de modo a obter um valor próprio numa vizinhança fornecida pelo utilizador.

trabalho 4.9 (5v) Acrescentar ao trabalho 4.4 uma translação de modo a obter um valor próprio numa vizinhança fornecida pelo utilizador.

trabalho 4.10 (5v) Acrescentar ao trabalho 4.5 uma translação de modo a obter um valor próprio numa vizinhança fornecida pelo utilizador.

trabalho 4.11 (5v) Acrescentar ao trabalho 4.6 uma translação de modo a obter um valor próprio numa vizinhança fornecida pelo utilizador.

trabalho 4.12 (5v) Acrescentar ao trabalho 4.7 uma translação de modo a obter um valor próprio numa vizinhança fornecida pelo utilizador.

trabalho 4.13 (5v) Acrescentar ao trabalho 4.1 um passo de projecção sobre o espaço ortogonal a v, deste modo procurando o valor próprio dominante seguinte. Atribuído a Daniela Louro

Equações não lineares numa incógnita

trabalho 5.1 (4v) Implemente o método da bissecção. Atribuído a Sofia Lourenço, Andrea Celis e Beatriz Dias

trabalho 5.2 (4v) Implemente o método do ponto fixo. Atribuído a Sofia Lourenço, Andrea Celis e Beatriz Dias

trabalho 5.3 (4v) Implemente o método de Newton-Raphson. Atribuído a Sofia Lourenço, Andrea Celis e Beatriz Dias

trabalho 5.4 (4v) Implemente o método da secante. Atribuído a Sofia Lourenço, Andrea Celis e Beatriz Dias

trabalho 5.5 (4v) Implemente o método da falsa posição. Atribuído a Sofia Lourenço, Andrea Celis e Beatriz Dias

Resolução de sistemas de equações não lineares

trabalho 6.1 (4v) Implemente o método do ponto fixo. Atribuído a Inês Rodrigues

trabalho 6.2 (5v) Implemente o método de Newton. Em cada passo deverá resolver um sistema de equações lineares através de eliminação de Gauss. Atribuído a Rita Rodrigues e Catarina Correia
 
trabalho 6.3 (5v) Implemente o método de Newton. Em cada passo deverá resolver um sistema de equações lineares através de eliminação de Gauss com troca de linhas. Atribuído a Matilde Robalo

trabalho 6.4 (5v) Implemente o método de Newton. Em cada passo deverá resolver um sistema de equações lineares através de eliminação de Gauss com troca de linhas e de colunas. Atribuído a Ana Catarina Gomes

trabalho 6.5 (5v) Implemente o método de Newton. Em cada passo deverá resolver um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Seidel. Deve aproveitar informação do passo anterior para inicializar o método de Gauss-Seidel

trabalho 6.6 (5v) Implemente o método de Newton. Em cada passo deverá resolver um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Seidel com relaxação. Deve aproveitar informação do passo anterior para inicializar o método de Gauss-Seidel com relaxação

Optimização numa variável

trabalho 7.1 (4v) Implemente o método do gradiente para procurar pontos de mínimo duma função duma variável. Atribuído a Pedro Ramos

trabalho 7.2 (4v) Implemente o método da bissecção para procurar pontos de extremo duma função duma variável. Atribuído a Sofia Caetano

trabalho 7.3 (4v) Implemente o método do ponto fixo para procurar pontos de extremo duma função duma variável. Atribuído a Rita Rodrigues e Catarina Correia

trabalho 7.4 (4v) Implemente o método de Newton-Raphson para procurar pontos de extremo duma função duma variável. Atribuído a Rita Rodrigues e Catarina Correia

trabalho 7.5 (4v) Implemente o método da secante para procurar pontos de extremo duma função duma variável. Atribuído a Sara Catarino

trabalho 7.6 (4v) Implemente o método da falsa posição para procurar pontos de extremo duma função duma variável. Atribuído a Sara Catarino

trabalho 7.7 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para procurar pontos de mínimo duma função duma variável, sujeito a constrangimentos. Atribuído a Andreia Marinheiro

trabalho 7.8 (4v) Implemente o método de Newton-Raphson com projecção para procurar pontos de extremo duma função duma variável, sujeito a constrangimentos

Optimização em várias variáveis

trabalho 8.1 (4v) Implemente o método do gradiente com passo fixo. Atribuído a Diogo Narciso

trabalho 8.2 (4v) Implemente o método de Newton para procurar pontos de extremo. Atribuído a Diogo Narciso

trabalho 8.3 (4v) Implemente o método da relaxação. Para a procura linear, use o método do gradiente com passo fixo. Atribuído a Sofia Lourenço, Andrea Celis e Beatriz Dias

trabalho 8.4 (4v) Implemente o método da relaxação. Para a procura linear, use o método de Newton. Atribuído a Sofia Lourenço, Andrea Celis e Beatriz Dias

trabalho 8.5 (4v) Implemente o método do gradiente com procura linear. Para a procura linear, use o método da secante. Atribuído a Ana Catarina Gomes

trabalho 8.6 (4v) Implemente o método do gradiente com procura linear. Para a procura linear, use o método da falsa posição. Atribuído a Inês Rodrigues

trabalho 8.8 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para minimizar uma função sujeita a constrangimentos do tipo caixa 

trabalho 8.9 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para minimizar uma função sujeita a constrangimentos do tipo x2+y2+z2<=R2

trabalho 8.10 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para minimizar uma função sujeita a constrangimentos do tipo x2+y2+z2=R2

trabalho 8.11 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para minimizar uma função sujeita a constrangimentos do tipo ax+by+cz <= d

trabalho 8.12 (4v) Implemente o método do gradiente com projecção para minimizar uma função sujeita a constrangimentos do tipo ax+by+cz = d

Anexos