Resolução dos Exercícios 95.a), 97.a), 98.a), 99, 100, 102.a), 105 e 108.

Resolução dos Exercícios 97.a), 98.a), 99, 100, 102.a), 105 e 108.

Revisão da última parte da aula anterior. Exemplos. Propriedades elementares da norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz, Desigualdade triangular e Teorema de Pitágoras generalizado. Dois exemplos de aplicação da Desigualdade de Cauchy-Schwarz: uma ao espaço euclidiano usual R^n e outra a um espaço euclidiano de funções contínuas. Distância e suas propriedades básicas. Ângulo entre dois vectores e projecção ortogonal, ambos no plano.

(Horário da aula: 8:00-9:30) 

Valor e vector próprio de um endomorfismo de um espaço vectorial. Condições equivalentes a um escalar ser valor próprio de um endomorfismo em termos de núcleo, injectividade e sobrejectividade. Para endomorfismos: subespaços próprios e polinómio característico. Revisão de matrizes de aplicações lineares e coordenadas. Relação entre valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma sua matriz relativamente a uma base. Multiplicidade geométrica de um valor próprio de um endomorfismo. Endomorfismo diagonalizável. Relação entre endomorfismos diagonalizáveis e matrizes diagonalizáveis. Breve revisão de algumas propriedades básicas dos números complexos; revisão do produto escalar no plano e no espaço (dados no Ensino Secundário). Definição de produto interno num espaço vectorial qualquer. Definição de espaço euclidiano e de espaço unitário. Propriedades elementares do produto  interno. Produto interno usual em R^n, em C^n e no espaço das matrizes coluna do tipo nx1. Mais dois exemplos de espaços vectoriais euclidianos: um em R^2 e outro num espaço vectorial de funções contínuas. Norma de um vector. Vectores ortogonais.