Resolução dos Exercícios 70.a), 72.e), j), l), 76.a), 77, 78.a), b), f), h) e 81.

Revisão da última parte da aula anterior. Teorema das dimensões. Definição de soma directa de subespaços vectoriais à custa da unicidade das parcelas dos vectores. Condições equivalentes à soma directa. Suplementar de um subespaço. Exemplos. Como encontrar uma base de um subespaço suplementar. Matriz de mudança de base. Exemplo. Produto de matrizes de mudança de base e inversa de uma matriz de mudança de base.

Revisão da última parte da aula anterior. Bases do espaço das linhas e bases do espaço das colunas de uma matriz em forma de escada. Independência linear de sistemas de vectores formados por colunas de uma matriz e matrizes equivalentes. Base do espaço das linhas e base do espaço das colunas de uma matriz. Exemplos. Igualdade entre as dimensões daqueles espaços e a característica da matriz. Igualdade entre a característica de uma matriz e a característica da sua transposta. Característica de uma matriz e transformações elementares sobre colunas. Soma de subespaços vectoriais: definição e propriedades básicas.

Teorema de Steinitz. Exemplo. Dimensão de um espaço vectorial (finitamente gerado). Exemplos. Dimensão como cardinal máximo de um sistema de vectores linearmente independente e dimensão como cardinal mínimo de um sistema de vectores gerador. Exemplos. Critérios para um sistema de vectores de cardinal igual à dimensão do espaço ser uma base. Exemplo. Teorema do Completamento para bases. Subespaços vectoriais de um espaço vectorial finitamente gerado. Dimensão do conjunto-solução de um sistema de equações lineares homogéneo.

Resolução dos Exercícios 41, 43.a), 46.a), b), 52, 53, 54.a), 58, 59, 61, 62.c), 63 e 64.