Sumários
28 Outubro 2022, 20:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Definição e critérios de mensurabilidade; exemplos e variáveis aleatórias; propriedades elementares das funções mensuráveis e os exemplos das funções características, das funções simples e dos seus limites pontuais; o integral das unções mensuráveis positiveis e as suas propriedades; o teorema da convergência monótona e o lema de Fatou.
Breve apresentação dos capítulos de 2 e 3 do livro [CK] como sugestões de leitura complementar. Resolução de um exercício do Exame de 21-11-2017 e sugestões de exercícios.
28 Outubro 2022, 18:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Definição e critérios de mensurabilidade; exemplos e variáveis aleatórias; propriedades elementares das funções mensuráveis e os exemplos das funções características, das funções simples e dos seus limites pontuais; o integral das unções mensuráveis positiveis e as suas propriedades; o teorema da convergência monótona e o lema de Fatou.
Breve apresentação dos capítulos de 2 e 3 do livro [CK] como sugestões de leitura complementar. Resolução de um exercício do Exame de 21-11-2017 e sugestões de exercícios.
21 Outubro 2022, 20:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Medidas como funções positivas e (finitas ou numeravelmente) aditivas de conjunto definidas em famílias de subconjuntos fechadas para as operações Booleanas — as sigma-álgebras de conjuntos; exemplos, espaços de probabilidade e primeiras propriedades; sigma-álgebras geradas por conjuntos, unicidade da extensão e da completação de medidas—conjuntos de medida nula e o caso dos borelianos e da medida de Lebesgue em R e em Rn. A medida de Lebesgue-Stieltjes.
Exemplos e sugestões de exercícios. A generalização do princípio da inclusão-exclusão das probabilidades (ver artigo anexo sobre Daniel da Silva) como exercício para avaliação contínua.
[MR]— Miguel Ramos, Teoria da Medida, Notas e Exercícios para o Mestrado em Matemática Financeira, FCUL, 2006
[CK]—M. Capinski & E. Kopp, Measure, Integral and Probability, 2nd Ed., Springer-verlag, Berlin, 2004.
21 Outubro 2022, 18:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Medidas como funções positivas e (finitas ou numeravelmente) aditivas de conjunto definidas em famílias de subconjuntos fechadas para as operações Booleanas — as sigma-álgebras de conjuntos; exemplos, espaços de probabilidade e primeiras propriedades; sigma-álgebras geradas por conjuntos, unicidade da extensão e da completação de medidas—conjuntos de medida nula e o caso dos borelianos e da medida de Lebesgue em R e em Rn. A medida de Lebesgue-Stieltjes.
Exemplos e sugestões de exercícios. A generalização do princípio da inclusão-exclusão das probabilidades (ver artigo anexo sobre Daniel da Silva) como exercício para avaliação contínua.
[MR]— Miguel Ramos, Teoria da Medida, Notas e Exercícios para o Mestrado em Matemática Financeira, FCUL, 2006
[CK]—M. Capinski & E. Kopp, Measure, Integral and Probability, 2nd Ed., Springer-verlag, Berlin, 2004.
14 Outubro 2022, 20:00
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José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Revisões sobre o cálculo diferencial de funções escalares e vetoriais de Rn: continuidade, derivadas direcionais e derivadas parciais; derivada total e condições de diferenciabilidade; a regra da cadeia e a sua forma matricial; derivadas de ordem superior, as fórmulas de Taylor atém à segunda ordem e condições para a igualdade das derivadas mistas. Aplicações às equações com derivadas parciais lineares de primeira e de segunda ordem com coeficientes constantes: a equação do transporte e a equação das ondas. Derivadas de funções implícitas. Caraterização de máximos, mínimos e de pontos de sela e os valores próprios da Hessiana de funções escalares. Extremos condicionados e multiplicadores de Lagrange. (Cap.s 8 e 9 de [A-II]).
Aplicação a equações diferenciais ordinárias exatas de 1ª ordem (§ 10.19) e exemplos de mudança de variáveis na distribuição multinormal. Entre outros, as seguintes sugestões de exercícios de revisão de [A-II]) são recomendadas: 18 e 18 do §8.9 (p.256); 7 e 9 do §8.24 (p.282); 1, 3 e 4 do §9.5 (p.292); 21 do §9.13 (p. 314) e 9 do §9.15 (p. 318). [A-II] Tom M. Apostol, Calculus, II, 2nd Ed., J Wiley & Sons, 1967