Sumários
TP 14
8 Novembro 2019, 11:30 • Bruno Dinis
A teoria de Zermelo: os axiomas de extensionalidade, separação, união, par, partes e infinito. Resolução dos exercícios 54, 55, 56 e 57.
T15
8 Novembro 2019, 10:30 • Mário Jorge Edmundo
A noção um conjunto não tem mais elemento do que outro, exemplos, propriedades, demonstração do teorema de Cantor-Schroder-Berstein, mais propriedades envolvendo uniões disjuntas, produto cartesiano e conjunto de funções. Demonstração do teorema da comparabilidade (usando o lema de Zorn), demonstração do facto de que se X é infinito, então XxX é equipotente a X (usando comparabilidade e lema de Zorn).
TP 13
6 Novembro 2019, 09:00 • Bruno Dinis
Demonstração da Proposição 34. Resolução dos exercícios 42, 43, 44, 46, 47 e 48.
T14
6 Novembro 2019, 08:00 • Mário Jorge Edmundo
Se n é diferente de m, então [n] não é equipotente a [m] (usando o princípio dos cacifos: se f:[n]->[n] é injectiva, então é sobrejectiva). Definição de conjunto finito e definição de cardinal de conjunto finito, propriedades, exemplos: card(P(X))=2^{card(X)}. Definição de conjunto infinito, exemplos: os conjuntos dos naturais, dos inteiros, racionais e reais são infinitos (demonstração usando o princípio dos cacifos e existência de funções injectivas que não são sobrejectivas); Nota sobre infinito e infinito à Dedekind e o uso da existência das funções de escolha. Existe uma noção de cardinal para conjuntos infinitos satisfazendo propriedades análogas à noção de cardinal para conjuntos finitos? Conjuntos numeráveis, propriedades, papel da existência de funções de escolha na demonstração de que a união numerável de conjuntos numeráveis é numerável. Mais propriedades da equipotência relacionando uniões disjuntas, produtos cartesianos e conjuntos de todas as funções de X em Y; exemplos de aplicações: união disjunta de finito ou numerável com numerável é numerável; produto cartesiano de finito ou numerável com numerável é numerável; o conjunto das funções de um conjunto finito para um conjunto numerável é numerável; o conjunto das funções dos reais para os reais é equipotente ao conjunto das funções dos reais para {0,1}.