Sumários

T18

20 Novembro 2019, 08:00 • Mário Jorge Edmundo

Propriedades de ordinais. A classe dos ordinais é transitiva, a pertença é uma ordem total estrita e satisfaz o princípio do mínimo. Teorema de Burali-Forti: a classe dos ordinais é uma classe própria. Princípio de indução transfinite para boas ordens; princípio de indução transfinite nos ordinais.

TP 16

15 Novembro 2019, 11:30 • Bruno Dinis

Dados dois números naturais n e m: se n pertence a m então n está estritamente contido em m e, se n está estritamente contido em m, então n pertence a m. Omega com a relação de pertença é uma ordem total estrita (na demonstração prova-se também que a interseção de dois números naturais é número natural). Princípio do mínimo para omega e pertença. Todo o número natural com a relação de pertença é uma ordem total estrita que satisfaz o princípio do mínimo. Definição de ordinal como um conjunto transitivo tal que é a relação de pertença é uma ordem total estrita que satisfaz o princípio do mínimo. Axioma da fundação (também conhecido por axioma da regularidade), casos patológicos para a pertença excluídos pelo axioma da fundação. Com o axioma da fundação \alpha é ordinal se e só se é transitivo e pertença satisfaz a propriedade de tricotomia.

(A aula foi dada pelo Prof. Mário Edmundo)

T17

15 Novembro 2019, 10:30 • Mário Jorge Edmundo

Axioma da escolha. Construção do naturais na teoria de conjuntos: o axioma do infinito; conjuntos indutivos; omega é indutivo e está contido em todos os conjuntos indutivos; princípio da indução para omega; conjuntos transitivos, outras formulações e propriedades; omega é transitivo e do o elemento de omega é transitivo; omega com sucessor e vazio é estrutura de Dedekind-Peano; notas sobre teorema da recursão e do isomorfismo de Dedekind (unicidade) para omega, identificação de omega com o conjunto dos números naturais. Mais propriedades de omega e dos elementos de omega (número naturais): nenhum número natural é elemento de si próprio, omega não é elemento de si próprio.

Continuação da aula T na aula TP: Dados dois números naturais n e m: se n pertence a m então n está estritamente contido em m e, se n está estritamente contido em m, então n pertence a m. Omega com a relação de pertença é uma ordem total estrita (na demonstração prova-se também que a interseção de dois números naturais é número natural). Princípio do mínimo para omega e pertença. Todo o número natural com a relação de pertença é uma ordem total estrita que satisfaz o princípio do mínimo. Definição de ordinal como um conjunto transitivo tal que é a relação de pertença é uma ordem total estrita que satisfaz o princípio do mínimo. Axioma da fundação (também conhecido por axioma da regularidade), casos patológicos para a pertença excluídos pelo axioma da fundação. Com o axioma da fundação \alpha é ordinal se e só se é transitivo e pertença satisfaz a propriedade de tricotomia.

TP 15

13 Novembro 2019, 09:00 • Bruno Dinis

Os axiomas: Fundação, Escolha, Escolha Numerável e Escolhas Dependentes. Resolução dos exercícios 60, 61, 62 e 63.

T16

13 Novembro 2019, 08:00 • Mário Jorge Edmundo

Lei da absorção, exemplos (incluido o conjunto das funções contínuas dos reais nos reais é equipotente ao conjunto das funções dos naturais em {0,1}). Se um conjunto X tem pelo menos dois elementos e um conjunto Y é infinito e não tem menos elementos do que X, então o conjunto das funções de Y em X é equipotente ao conjunto das funções de Y em {0,1}, exemplos. Se X está contido em Y, Y é infinito e X tem menos elementos do que Y, então Y\X é equipotente a Y, exemplos.

O que é um conjunto? Definição explicita e o paradoxo de Russell. Definição implícita (axiomas): axioma da extensionalidade; axioma do vazio; axioma do par, exemplo: conjunto singular; axioma da união, exemplo: união de dois conjuntos; axioma das partes, exemplo: o produto cartesiano de dois conjuntos; axioma da separação, nota sobre fórmulas da linguagem da teoria de conjuntos e propriedades bem determinadas, exemplos: interseção de um conjunto, interseção de dois conjuntos, conjunto das funções de um conjunto para outro conjunto, famílias de conjuntos, uniões, intersecções e produtos cartesianos de famílias de conjuntos; axioma da substituição, nota sobre fórmulas da linguagem da teoria de conjuntos e operações bem determinadas, exemplos de operações bem determinadas.