Revisão da última aula. Exemplo de uma matriz não diagonalizável em R, mas diagonalizável em C. Matrizes de ordem n com n valores próprios distintos entre si. Resumo de como encontrar uma matriz diagonalizadora, caso exista, de uma matriz dada. Valor e vector próprio de um endomorfismo de um espaço vectorial. Condições equivalentes a um escalar ser valor próprio de um endomorfismo em termos de núcleo, injectividade e sobrejectividade. Para endomorfismos: subespaços próprios e polinómio característico. Relação entre valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma sua matriz relativamente a uma base. Multiplicidade geométrica de um valor próprio de um endomorfismo. Endomorfismo diagonalizável. Relação entre endomorfismos diagonalizáveis e matrizes diagonalizáveis.

Revisão da última aula. Sistemas linearmente independentes de vectores próprios. Produto de matrizes diagonais. Matriz diagonalizável e matriz diagonalizadora. Potências de matrizes diagonalizáveis. Caracterização das matrizes diagonalizadoras de uma matriz em termos de vectores próprios. Caracterização das matrizes diagonalizáveis em termos de vectores próprios e em termos de valores próprios; diagonalização e relação entre multiplicidades algébrica e geométrica.

Revisão da última aula. Polinómio característico, equação característica e espectro de uma matriz quadrada. Subespaço próprio associado a um valor próprio. Teorema Fundamental da Álgebra e uma condição necessária para um número racional ser raiz de um polinómio de coeficientes inteiros com coeficiente do termo de maior grau igual a -1 ou a 1. Exemplo. Valores próprios de uma matriz triangular. Matrizes semelhantes. Matrizes de aplicações lineares como exemplos de matrizes semelhantes. Igualdade dos polinómios característicos de matrizes semelhantes. Multiplicidade algébrica de uma raiz de um polinómio. Exemplos. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. Relação entre as multiplicidades algébrica e geométrica de um valor próprio.

Resolução dos Exercícios 100.a), 104.a), c), d), e), 111, 112, 118.f), g) e 120.a).