Sumários

T4 - A função Hamiltoniana. Convexidade

27 Fevereiro 2025, 16:00 Ana Rute Domingos

Exemplos da equação de Euler Lagrange: o caso em que a variável x está ausente.

Função Hamiltoniana: definição, propriedade de ser constante ao longo dos extremais - prova, exemplos (braquistócrona).

Definição e exemplos de conjunto convexo e de função convexa.

Existência de mínimo para as funções r.v.r convexas.
Critério de convexidade para funções reais de duas variáveis. Funcionais com funções integrandas convexas em (y,y’): um extremal é ponto de mínimo (demonstração); exemplo – geodésicas no plano.


T3 - A equação de Euler-Lagrange

25 Fevereiro 2025, 15:00 Ana Rute Domingos

Norma fraca, norma forte. Extremo local fraco, extremo local forte.

Lema Dubois- Reymond: enunciado e demonstração.

Dedução da Equação integro-diferencial de Euler-Lagrange.

Equação de Euler-Lagrange: prova; caso particular em que a função integranda não depende de x; exemplos: geodésicas no plano e na superfície esférica.


Aula TP#1

20 Fevereiro 2025, 17:30 Ana Rute Domingos

Revisão sobre equações diferenciais ordinárias lineares de 2.ª ordem.
Discussão e resolução de exercícios da Ficha Introdutória: 2b), 5 a), 8, 9 a).


Aula T2 - A primeira variação

20 Fevereiro 2025, 16:00 Ana Rute Domingos

Derivada de Fréchet, derivada de Gateaux, primeira variação: definição, propriedades e exemplos.

Espaço de variações admissíveis.

Condição necessária para a existência de extremo locais: enunciado e demonstração.

Breve referência à segunda variação de Gateaux.



Aula T1 - Apresentação. Primeiros conceitos

18 Fevereiro 2025, 15:00 Ana Rute Domingos

Apresentação da disciplina (programa, objetivos, bibliografia, avaliação, etc).
Início do Capítulo 1 - Introdução ao cálculo das variações. 
Breve introdução histórica.
Exemplos clássicos no cálculo das variações: geodésicas (no plano, na esfera), catenária, catenóide, braquistócrona, problema de Dido.
Exemplos de normas em espaços de funções.
Funcionais: definição, exemplos, linearidade, continuidade, extremos locais. O espaço dual topológico.