Sumários

TP13: Combinação linear, independência linear e base; matriz de uma aplicação linear; prova de avaliação.

4 Dezembro 2025, 08:00 • Mário João de Jesus Branco

Resolução dos Exercícios 86, 92 e um exercício extraordinário sobre a matriz de uma aplicação linear.

Prova de avaliação.

TP12 - Matrizes mudança de base, aplicações lineares, miniteste de avaliação

4 Dezembro 2025, 08:00 • Ana Catarina Cristino Monteiro

Resolução dos exercícios 105, 106 a),c),f), 108, 110 (parcial)

Esclarecimento de dúvidas

Miniteste de avaliação

T: Espaços euclidianos e espaços unitários.

3 Dezembro 2025, 09:00 • Mário João de Jesus Branco

Revisão da parte final da última aula. Mais dois exemplos de espaços vectoriais euclidianos: um em R^2 e outro num espaço vectorial de funções contínuas. Norma de um vector. Vectores ortogonais. Exemplos. Propriedades elementares da norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Desigualdade triangular e Teorema de Pitágoras generalizado. Dois exemplos de aplicação da Desigualdade de Cauchy-Schwarz: uma ao espaço euclidiano usual R^n e outra a um espaço euclidiano de funções contínuas.

TP14: Combinação linear, independência linear e base; matriz de uma aplicação linear; prova de avaliação.

2 Dezembro 2025, 09:30 • Mário João de Jesus Branco

Resolução dos Exercícios 86.c), d), 92, 93 e um exercício sobre a matriz de uma aplicação linear.

Prova de avaliação.

T: Valores e vectores próprios de um endomorfismo. Espacos euclidianos e espaços unitários.

28 Novembro 2025, 09:00 • Mário João de Jesus Branco

(Aula de 1h20m)

Valor e vector próprio de um endomorfismo de um espaço vectorial. Soma de aplicações lineares e multiplicação de um escalar por uma aplicação linear. Condições equivalentes a um escalar ser valor próprio de um endomorfismo em termos de núcleo, injectividade e sobrejectividade. Para endomorfismos: subespaços próprios e polinómio característico. Revisão de matrizes de aplicações lineares e coordenadas; exemplo. Relação entre valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma sua matriz relativamente a uma base. Multiplicidade geométrica de um valor próprio de um endomorfismo. Endomorfismo diagonalizável. Relação entre endomorfismos diagonalizáveis e matrizes diagonalizáveis. Exemplos. Breve revisão de algumas propriedades básicas dos números complexos; revisão do produto escalar no plano e no espaço dados no Ensino Secundário. Definição de produto interno num espaço vectorial qualquer. Definição de espaço euclidiano e de espaço unitário. Propriedades elementares do produto interno. Produto interno usual em R^n, em C^n e no espaço das matrizes coluna do tipo nx1.