(Horário da aula: 8:00-9:30) 

Valor e vector próprio de um endomorfismo de um espaço vectorial. Condições equivalentes a um escalar ser valor próprio de um endomorfismo em termos de núcleo, injectividade e sobrejectividade. Para endomorfismos: subespaços próprios e polinómio característico. Revisão de matrizes de aplicações lineares e coordenadas. Relação entre valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma sua matriz relativamente a uma base. Multiplicidade geométrica de um valor próprio de um endomorfismo. Endomorfismo diagonalizável. Relação entre endomorfismos diagonalizáveis e matrizes diagonalizáveis. Breve revisão de algumas propriedades básicas dos números complexos; revisão do produto escalar no plano e no espaço (dados no Ensino Secundário). Definição de produto interno num espaço vectorial qualquer. Definição de espaço euclidiano e de espaço unitário. Propriedades elementares do produto  interno. Produto interno usual em R^n, em C^n e no espaço das matrizes coluna do tipo nx1. Mais dois exemplos de espaços vectoriais euclidianos: um em R^2 e outro num espaço vectorial de funções contínuas. Norma de um vector. Vectores ortogonais.

(Horário da aula: 8:30-10:00) 

Valores próprios de uma matriz triangular. Matrizes semelhantes. Matrizes de aplicações lineares como exemplos de matrizes semelhantes. Igualdade dos polinómios característicos de matrizes semelhantes. Multiplicidade algébrica de uma raiz de um polinómio. Exemplos. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. Relação entre as multiplicidades algébrica e geométrica de um valor próprio. Exemplo. Sistemas linearmente independentes de vectores próprios. Produto de matrizes diagonais. Matriz diagonalizável e matriz diagonalizadora. Exemplos. Potências de matrizes diagonalizáveis. Caracterização das matrizes diagonalizadoras de uma matriz em termos de vectores próprios. Caracterização das matrizes diagonalizáveis em termos de vectores próprios e em termos de valores próprios; diagonalização e relação entre multiplicidades algébrica e geométrica. Exemplo de uma matriz não diagonalizável em R, mas diagonalizável em C. Matrizes de ordem n com n valores próprios distintos entre si. Resumo de como encontrar uma matriz diagonalizadora, caso exista, de uma matriz dada.

Resolução dos Exercícios 93, 94.a)-e), g), 96.a), b), 97.a), 98.a), d) e 99.

Resolução dos Exercícios 93, 94.a)-e), g), 96.a), b), 97.a), 98.a), d) e 99.

Valores e vectores próprios de uma matriz quadrada: definição, caracterização dos valores próprios e determinação dos valores e dos vectores próprios; exemplos. Polinómio característico e alguns dos seus coeficientes. Polinómio característico, equação característica e espectro de uma matriz. Subespaço próprio associado a um valor próprio. Teorema Fundamental da Álgebra e uma condição necessária para um número racional ser raiz de um polinómio de coeficientes inteiros com coeficiente do termo de maior grau igual a -1 ou a 1. Exemplo.