Sumários

Espaços de Sobolev e problemas variacionais elíticos - 1

8 Março 2022, 11:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Revisão sobre os espaços de Sobolev e das suas principais propriedades de espaço de Hilbert e de Banach A caracterização funcional dos quocientes diferenciais.

As formulações variacionais dos problemas de Dirichlet e de Neumann para Laplaciano e outros problemas elíticos. Revisão dos teoremas de Lax-Milgram e de Fréchet-Riesz, para a existência e dependência contínua de soluções fracas.

Esquema da obtenção da regularidade H ²das soluções variacionais: o caso de R ⁿ.

Nota: as aulas das terças-feiras são por Zoom das 11:00 às 13:00.

Transferida

7 Março 2022, 11:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Transferida

Técnicas de resolução das equações clássicas lineares

3 Março 2022, 11:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A equação do transporte em R ⁿe a solução do problema inicial.

A equação de Laplace: soluções fundamentais em R ⁿe a sua utilização para obter soluções da equação de Poisson em R ⁿ; fórmulas do valor médio para a equação de Laplace e princípios do máximo para as funções harmónicas; funções de Green e soluções do problema de Dirichlet nalguns casos particulares (na bola e no semi-espaço); os métodos formais da energia.

A equação do calor: a solução fundamental em R ⁿe a solução do problema de Cauchy; a equação não homogénea e o princípio de Duhamel; o princípio do máximo clássico para a equação do calor e a unicidade do problema de Dirichlet.

A equação das ondas: a fórmula de d'Alembert e a propagação das ondas; os métodos formais da energia.

Apresentação e introdução às EDPs

24 Fevereiro 2022, 11:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Uma breve panorâmica histórica dos EDPs clássicas com alguns factos chave: Início do Cálculo com a EDO de Leibniz (1684) para o exponencial e a EDO de Taylor (1713) para as oscilações lineares; solução de d'Alembert para a equação das ondas (1746), via características, soluções de Daniel Bernoulli (1753) em série harmónica e a primeira controvérsia sobre soluções admissíveis para a equação da corda vibrante entre Euler e d'Alembert; A equação do calor, via separação de variáveis, e o seu estado limite de radiação por Fourier (1807); o princípio de Dirichlet utilizado por Riemann (1851) associado à equação de Laplace (1784) e relacionado com as condições de Cauchy-Riemann, já utilizado por Euler e d'Alembert nos anos 1750; o seu papel no desenvolvimento do Cálculo de Variações e Análise com Hilbert (1900), a escola de Gottingen e B. Levi e Tonelli e a escola italiana (1921); o aparecimento de soluções generalizadas e variacionais em 1934 com Sobolev, para a equação das ondas, e com Leray, para o sistema Navier-Stokes; o desenvolvimento dos espaços Sobolev e a teoria da Distribuição, nos livros de Sobolev e de L Schwarz em 1950, explorando a técnica da integração por partes, já utilizada por Lagrange em 1761 e Poincaré em 1890, o conceito de dualidade nos espaços funcionais e estimativas a priori; a explosão de métodos modernos, monotonicidade, compacidade, métodos iterativos e construtivos (numéricos) a problemas lineares e não lineares após meados dos anos 60, com pioneiros como Ladyzhenskaya, Oleinik na Rússia, J-L Lions em França, Courant e Nirenberg nos EUA.
Lista exemplificativo das principais EDPs, lineares, não lineares, sistemas, etc., dos seus problemas nos limites e principais estratégias de resolução.

Não houve aula

22 Fevereiro 2022, 11:00 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Adiamento do início do curso