Sumários
14 Dezembro 2016, 10:30
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Alessandro Margheri
EDP: equações lineares de primeira ordem:1) au_x+bu_y=0Método das características e mudança de coordenadas associada. Os valores iniciais propagam-se ao longo das características.
Exercício: 3u_x-2u_y=0, u(0,y)=sin y. Caso particular: ondas progressivas e regressivas.
9 Dezembro 2016, 09:30
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Alessandro Margheri
Demonstração do teorema fundamental sobre soluções periódicas.
9 Dezembro 2016, 08:00
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Alessandro Margheri
Exercício: esboço de algumas trajetórias associadas à equação u''+u^2-1=0.
Ex 2.3.
7 Dezembro 2016, 11:30
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Alessandro Margheri
Sistemas conservativos com um grau de liberdade: a equação da energia u''+g(u)=0 e o sistema plano equivalente (sc). Retrato de fase de um sistema plano. Equilíbrios de (sc). Resultado sobre a continuação par de algumas soluções da equação da energia.
Enunciado do Teorema fundamental sobre conservação da energia e existência de soluções periódicas. Significado do enunciado: as trajectórias de (sc) estão contidas nas curvas de nível da energia que, em geral, são união de dois gráficos. Um exemplo de aplicação do teorema:
a solução de u''+u^2-1=0 com c.i. u(0)=sqrt(3), u'(0)=0 é periódica, tem mínimo 0 e máximo sqrt(3). Fórmula que dá o seu período.
7 Dezembro 2016, 10:30
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Alessandro Margheri
Sistemas autónomos. Espaço de fases e campos vectoriais. Caso n=1: recta das fases.
Consequências do teorema de existência e unicidade:
a) soluções não continuáveis de PVI com o mesmo estado inicial e diferentes instantes iniciais são translação no tempo uma da outra. Ilustração geométrica do resultado no caso n=1: campo de direcções da equação autónoma é invariante por translações no tempo
b) soluções maximais que tomem o mesmo valor em tempo diferentes são periódicas. Ilustração geométrica do resultado.