Revisão da parte final da última aula. Dois exemplos de aplicação da Desigualdade de Cauchy-Schwarz: uma ao espaço euclidiano usual R^n e outra a um espaço euclidiano de funções contínuas. Distância e suas propriedades básicas. Ângulo entre dois vectores e projecção ortogonal, ambos no plano. Ângulo entre dois vectores de um espaço euclidiano. Algumas propriedades. Vector unitário e versor de um vector. Sistema de vectores ortogonal e ortonormado. Independência de um sistema ortogonal de vectores não nulos. Coordenadas e produto interno de vectores escritos como combinação linear de uma base ortonormada. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt.

Revisão da parte final da última aula. Propriedades elementares do produto  interno. Produto interno usual em R^n, em C^n e no espaço das matrizes coluna do tipo nx1. Mais dois exemplos de espaços vectoriais euclidianos: um em R^2 e outro num espaço vectorial de funções contínuas. Norma de um vector. Vectores ortogonais. Exemplos. Propriedades elementares da norma. Desigualdade de Cauchy-Schwarz, Desigualdade triangular e Teorema de Pitágoras generalizado.

Valor e vector próprio de um endomorfismo de um espaço vectorial. Condições equivalentes a um escalar ser valor próprio de um endomorfismo em termos de núcleo, injectividade e sobrejectividade. Para endomorfismos: subespaços próprios e polinómio característico. Relação entre valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma sua matriz relativamente a uma base. Multiplicidade geométrica de um valor próprio de um endomorfismo. Endomorfismo diagonalizável. Relação entre endomorfismos diagonalizáveis e matrizes diagonalizáveis. Breve revisão de algumas propriedades básicas dos números complexos; revisão do produto escalar no plano e no espaço (dados no Ensino Secundário). Definição de produto interno num espaço vectorial qualquer. Definição de espaço euclidiano e de espaço unitário.

Resolução dos Exercícios 122.d), e), 125, 127 e 131.