O Hamiltoniano como alternativa para Euler--Lagrange. Funções convexas.

Exercícios 3.1, 3.4(a), (b), 3.3.

Doutoramentos e a "árvore genealógica" dos matemáticos.

Secção 1.5 (conclusão): Demonstração que uma função diferenciável é convexa sse fica acima do plano tangente em cada ponto. Qualquer extremal corresponde a um mínimo global se o integrando do funcional é convexo nas variáveis y,z, com demonstração. Condição no Hessiano para uma função ser convexa (sem demonstração). Exemplos incluindo o de geodésicas no plano.

Secção 1.4 (conclusão): Os exemplos do pêndulo simples e da braquistócrona.

Secção 1.5: Funcionais com integrandos convexos. Motivação e definição de funções convexas (de R^n em R). Caracterização em termos de planos tangentes.

Depois, das 12h00 às 12h45: TP extra sobre o Hamiltoniano. Exercício 3.2.

A equação de Euler--Lagrange e extremais.

Exercícios 2.2 (esboço breve), 2.3, 2.4.

Ordem T/TP trocada.

Secção 1.3 (conclusão): o exemplo de geodésicas no plano.
Secção 1.4: O Hamiltoniano. Motivação: equações de primeira ordem equivalentes a Euler--Lagrange. Mudança de variáveis e o sistema de equações Hamiltonianas (forma canónica) com exemplo e demonstração formal. O Hamiltoniano é constante se o integrando não depende de x.