Sumários
2 Maio 2024, 16:00
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James Kennedy
Secção 2.4 (conclusão): O espetro. Caracterização variacional do primeiro valor próprio. Demonstração de partes do teorema espetral.
Secção 3.1: Problemas de Sturm--Liouville. Definição, casos particulares. Problemas regulares e singulares.
24 Abril 2024, 12:00
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James Kennedy
Breve discussão de algumas ideias matemáticas atrás do segundo TPC. Espaços de Hilbert.
Exercícios 9.1, 9.2.
24 Abril 2024, 10:30
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James Kennedy
Secção 2.3 (conclusão): Séries trigonométricas como exemplo de bases ortonormadas.
Secção 2.4: O teorema espetral. Definição de valores e vetores próprios, núcleo, imagem etc. de operadores lineares, primeiras propriedades básicas. Definição de operadores auto-adjuntos, incl. motivação através de R^n. Exemplo da segunda derivada num espaço tipo C^\infty. Caracterização da norma de um operador auto-adjunto através do produto interno (só enunciado, sem demonstração). Enunciado do teorema espetral.
18 Abril 2024, 17:30
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James Kennedy
Aula mais curta. Espaços pré-Hilbertianos: a Identidade do Paralelogramo, ortogonalização de Gram--Schmidt num exemplo.
Exercícios 8.3, 8.4.
18 Abril 2024, 16:00
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James Kennedy
Secção 2.3 (continuação): Demonstração de Cauchy--Schwarz. A Identidade do Paralelogramo e o Teorema de Pitágoras, com demonstração. Ortogonalidade e sucessões ortonormadas. Projeção em espaços de dimensão finita, com esboço da demonstração. Bases ortornormadas. A Desigualdade de Bessel e a Identidade de Parseval, com demonstração. Um espaço de Hilbert tem base ortonormada sse é separável, enunciado com ideia breve ("ingredientes") da demonstração.