Componentes conexas dum espaço topológico. O produto finito de espaços topológicos conexos é um espaço topológico conexo.

Menção breve (sem demonstração) da caracterização da compacidade em espaços métricos: num espaço métrico X as três seguintes condições são equivalentes:

(1) X é compacto. 

(2) X é sequencialmente compacto (i.e., toda a sucessão tem uma subsucessão convergente).

(3) X é completo e totalmente limitado (um espaço métrico X diz-se totalmente limitado se, dado qualquer real e>0, existe um número finito de bolas de raio e que cobrem X).

(Esta menção breve não sai para exame.)

Despedida.

(2) Dado um espaço métrico (X,d), a função distância de XxX em R é contínua. 

(3) Dado um espaço topológico Hausdorff X, a sua diagonal (como subconjunto de XxX) é um conjunto fechado.

Preparação para demonstrar o teorema de Tychonoff para produtos finitos de espaços topológicos.

intersecção de compactos fechados é compacto

exemplo de conjunto compacto mas não fechado

exemplo de conjunto fechado mas não compacto