Sumários
9 Dezembro 2025, 11:00
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Fernando Ferreira
Topologia produto dum número finito de espaços topológicos. O produto de fechados é fechado. As funções projeção são contínuas, sobrejetivas e abertas. A topologia produto é a topologia menos fina em que todas as projeções são funções contínuas. Uma função dum espaço topológico para um produto de espaços topológicos é contínua se, e somente se, todas as componentes da função são funções contínuas (ainda sem demonstração).
5 Dezembro 2025, 09:30
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Fernando Ferreira
Entrega dos minitestes.
A aderência duma bola aberta está contida na correspondente bola fechada (mas não é necessariamente igual). Os espaços métricos são espaços T3.
5 Dezembro 2025, 08:00
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Fernando Ferreira
Três factos interessantes:
(1) Uma função uniformemente contínua definida num subconjunto denso dum espaço métrico X para um espaço métrico completo Y tem uma única extensão a uma função contínua de X para Y e, além disso, essa extensão é uniformemente contínua.
(2) O teorema do limite uniforme: Seja dada uma sucessão de funções contínuas dum espaço topológico X para um espaço métrico Y; se essa sucessão de funções converge uniformemente para uma função de X para Y, então f é contínua.
(3) Seja X um espaço topológico compacto. O espaço das funções contínuas de X para R munido da métrica da convergência uniforme é um espaço completo.
2 Dezembro 2025, 12:30
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João Manuel Pereira Nascimento de Fontinha
Entrega mini testes, resolução ex VI
Exs sobre compacidade dos racionais
2 Dezembro 2025, 11:00
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Fernando Ferreira
Vários resultados em torno de compacidade:
(1) Uma bijeção contínua dum compacto para um espaço Hausdorff é um homeomorfismo.
(2) Teorema de Heine-Borel: Um subconjunto de R é compacto se, e somente se, é fechado e limitada. Também vale para subconjuntos de R^n.
(3) Toda a função real contínua definida num compacto tem máximo e mínimo.
(4) A imagem duma função real definida num intervalo fechado e limitado é um fechado e limitado.
A noção de função uniformemente contínua dum espaço métrico para outro espaço métrico (não é uma noção topológica). (5) Teorema de Heine-Cantor: Toda a função contínua dum espaço métrico compacto para outro espaço métrico é uniformemente contínua.