Sumários

AULA 21

21 Novembro 2025, 08:00 • Fernando Ferreira

O teorema da contração de Banach. O teorema de Baire para espaços métricos completos.

1811

18 Novembro 2025, 12:30 • João Manuel Pereira Nascimento de Fontinha

ex 5 p.136

ex 7 p.121

AULA 20

18 Novembro 2025, 11:00 • Fernando Ferreira

Demonstração de que o completamento dum espaço existe e é único (a menos de isometria).

TP12:10

14 Novembro 2025, 09:30 • Fernando Ferreira

Exercício 13 da página 117. Exercício 2 da página 135.

AULA 19

14 Novembro 2025, 08:00 • Fernando Ferreira

O teorema de Bolzano-Weierstrass em R e em R^n. O espaço métrico R (em geral, R^n), com a métrica euclidiana, é completo. C[0,1] com a distância d_1 não é completo. Menção de que C[0,1] com a distância do supremo é completo. A completude métrica não é uma noção topológica.

Caracterização dos subconjuntos dos espaços métricos completos que são completos (para a métrica induzida): são, exatamente, os conjunto fechados.
Isometrias e imersões isométricas. A noção de completamento dum espaço métrico. O completamente dum espaço métrico existe sempre e é único a menos de isometria. A argumentação disto fica para a aula seguinte.