Séries absolutamente convergentes. Completação de espaços normados.

8 Novembro 2016, 10:30 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques

Séries convergentes e absolutamente convergentes.
Classes de equivalência de sucessões de Cauchy. Completação de um espaço normado.
Norma do completado.

Complementos

7 Novembro 2016, 09:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques

Complementos à aula teórica: exemplo de um espaço normado não completo (exercício 7).

PARTE 2/CAP. 2. ESPAÇOS NORMADOS E ESPAÇOS DE BANACH

7 Novembro 2016, 08:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques

Normas e espaços normados. Exemplos: Rⁿ, C, l², C([a,b]), etc. Métrica associada.
Bolas, limitados, convergência, etc.
Funções contínuas: a norma, distância a um conjunto, adição, multiplicação por escalar.
Sucessões de Cauchy.
Espaços de Banach. Exemplos.

Complementos

31 Outubro 2016, 09:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques

Esboço das demonstrações do lema e teorema de Urysohn e análise de alguns passos das mesmas.
Referência ao teorema da extensão de Tietze.

O problema da metrização

31 Outubro 2016, 08:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques

Algumas propriedades de espaços métricos, necessárias para a metrização de um espaço topológico:
T₁ , Hausdorff (T₂ ), 1º axioma da numerabilidade, regular, T₃, espaços normais.
O lema de Urysohn em espaços normais.

O teorema de Urysohn: um espaço topológico normal com o segundo axioma de numerabilidade é homeomorfo a um subespaço topológico de l².