Sumários
Teorema de Baire. Completação dos espaços métricos.
3 Outubro 2016, 08:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Aderência de um conjunto. Conjuntos densos, raros, magros (ou de primeira categoria), de segunda categoria e G_delta. Teorema da categoria de Baire e suas versões (uniões de fechados e G_delta densos).
Paralelismo entre a completação dos racionais (a construção de Cantor) e o problema da completação dos espaços métricos.
Esboço da demonstração: classes de equivalência de sucessões de Cauchy, definição da métrica, identificação do espaço inicial com um subconjunto denso, completude.
Exemplos. Exercícios.
27 Setembro 2016, 11:30 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Espaços métricos: l^1 e C[a,b] com métrica L^1. Subespaços métricos.
Correcção de exercícios (axiomas dos abertos, espaços topológicos caóticos e discretos).
Teoremas de Cantor e de Baire.
27 Setembro 2016, 10:30 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Variante do princípio de encaixe: teorema da intersecção de Cantor.
Bolas fechadas. Interior de um conjunto.
Uma primeira versão do teorema de Baire.
Métricas e desigualdades
26 Setembro 2016, 09:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Desigualdades de Holder e de Minkowski para integrais, somas finitas e séries.
Espaços com métricas de tipo L^p ou l^p.
Correcção de exercício (sobre bolas).
Conjuntos fechados. Espaços completos. Princípio do encaixe.
26 Setembro 2016, 08:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Conjuntos fechados e sequencialmente fechados. Sucessões de Cauchy. Espaços e subconjuntos completos. Unicidade do limite num espaço métrico.
Relações entre fechados e completos. Diâmetro de um conjunto. Princípio do encaixe ou teorema de Cantor da intersecção em espaços métricos completos.