Sumários
Equicontinuidade e convergência uniforme
10 Outubro 2016, 09:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Sucessões de funções equicontínuas: convergência pontual e convergência uniforme, continuidade da função limite.
Exemplo (funções lipschitzianas) e "contra-exemplo".
Teorema de Ascoli-Arzelà
10 Outubro 2016, 08:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
O problema da extracção de subsucessões uniformemente convergentes em C(X).
O método de diagonalização de Cantor, para a convergência simples em conjuntos numeráveis.
A equicontinuidade. Teorema de Ascoli-Arzelà: condições necessárias e suficientes para a compacidade em C(X),
com demonstração desta última parte.
Complementos.
4 Outubro 2016, 11:30 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Conclusão da demonstração do teorema de Bolzano-Weierstrass.
O espaço C([a,b]) e a métrica da convergência uniforme.
Interior, exterior, aderência e fronteira: definições e caracterizações.
Propriedades e "contra-exemplos".
Compacidade e compacidade sequencial.
4 Outubro 2016, 10:30 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Espaços métricos compactos: caracterizações equivalentes (coberturas abertas, sucessões crescentes de abertos, intersecções de fechados, sucessões decrescentes de fechados). Espaços métricos sequencialmente compactos. Espaços totalmente limitados.
Teorema de Bolzano-Weierstrass: espaços métricos compactos são sequencialmente compactos e vice-versa.
Complementos e exercícios.
3 Outubro 2016, 09:00 • Manuel Duque Pereira Monteiro Marques
Complementos sobre a completação de espaços métricos.
Caracterização de conceitos topológicos nos exemplos (métrica discreta, métricas em R^n).