Revisão da última aula. Matrizes de ordem n com n valores próprios distintos entre si. Resumo de como encontrar uma matriz diagonalizadora, caso exista, de uma matriz dada. Valor e vector próprio de um endomorfismo de um espaço vectorial. Condições equivalentes a um escalar ser valor próprio de um endomorfismo em termos de núcleo, injectividade e sobrejectividade. Para endomorfismos: subespaços próprios e polinómio característico. Revisão de matrizes de aplicações lineares e coordenadas. Relação entre valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma sua matriz relativamente a uma base. Multiplicidade geométrica de um valor próprio de um endomorfismo. Endomorfismo diagonalizável. Relação entre endomorfismos diagonalizáveis e matrizes diagonalizáveis. Exemplos.

(Aula de 1h20m.) Valores próprios de uma matriz triangular. Matrizes semelhantes. Matrizes de aplicações lineares como exemplos de matrizes semelhantes. Igualdade dos polinómios característicos de matrizes semelhantes. Multiplicidade algébrica de uma raiz de um polinómio. Exemplos. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. Relação entre as multiplicidades algébrica e geométrica de um valor próprio. Exemplo. Sistemas linearmente independentes de vectores próprios. Produto de matrizes diagonais. Matriz diagonalizável e matriz diagonalizadora. Exemplos. Potências de matrizes diagonalizáveis. Caracterização das matrizes diagonalizadoras de uma matriz em termos de vectores próprios. Caracterização das matrizes diagonalizáveis em termos de vectores próprios e em termos de valores próprios; diagonalização e relação entre multiplicidades algébrica e geométrica. Exemplo de uma matriz não diagonalizável em R, mas diagonalizável em C.

Revisão da parte sobre valores e vectores próprios dada na última aula. Algumas propriedades sobre o traço de uma matriz. Polinómio característico, equação característica e espectro de uma matriz. Subespaço próprio. Distinção entre subespaços próprios real e complexo associados a um valor próprio real. Exemplo. Teorema Fundamental da Álgebra. Igualdade entre o traço de uma matriz e a soma dos seus valores próprios complexos e igualdade entre o determinante de uma matriz e o produto dos seus valores próprios complexos. Exemplo. Uma condição necessária para um número racional ser raiz de um polinómio de coeficientes inteiros com coeficiente do termo de maior grau igual a -1 ou a 1. Exemplo.

TPC: exs 96, 97