Sumários

Aula 13 da TP11

9 Dezembro 2019, 16:30 • Maria Teresa Faria da Paz Pereira

Resolução de exercícios do Cap 2 (integração em C; séries de Taylor): 29.c) a h), 35.a),b),c), e),f), 37. a) a d).

Aula 35

9 Dezembro 2019, 15:30 • Maria Teresa Faria da Paz Pereira

Funções analíticas em abertos de C. Exemplo: 1/(1-z) é analítica em todos os pontos excepto em 1. Teorema de Taylor: uma função holomorfa num aberto D é analítica em D; demonstração com dedução da fórmula integral de Cauchy para as derivadas. Desenvolvimento em série de Taylor das funções elementares. Exemplos. Outras consequências: os zeros de funções analíticas (não nulas) são isolados; regra de Cauchy; teorema do prolongamento analítico (i.e., se f é holomorfa numa vizinhança de um ponto privada do ponto e tem limite no ponto, então é holomorfa em toda a vizinhança).

Aula 12 da TP11

5 Dezembro 2019, 16:30 • Maria Teresa Faria da Paz Pereira

Resolução de exercícios do Cap. 2 (integração em C): 24. e),f), 25, 28 (todos), 32, 29.a),b), c) (por completar).

Aula 34

5 Dezembro 2019, 15:30 • Maria Teresa Faria da Paz Pereira

O teorema fundamental da álgebra.
Séries em C: definições, generalidades, propriedades elementares. Exemplos: 1. a série geométrica em C; 2. a série de termo geral z^n/(n!) converge absolutamente em C. Séries de potências; raio de convergência. Convergência uniforme de uma série de potências dentro de uma bola fechada contida no disco de convergência; derivação e primitivação termo-a-termo de séries de potências. Coeficientes de Taylor. Desenvolvimento em série de potências da função exponencial.

Aula 33

4 Dezembro 2019, 16:30 • Maria Teresa Faria da Paz Pereira

Fórmula integral de Cauchy: demonstração. Teorema da Média.
Fórmula integral de Cauchy para as derivadas (sem demonstração). Exemplos de aplicações ao cálculo de integrais. Lema de Cauchy, teorema de Liouville.