Sumários

O critério de Lebesgue para a integrabilidade à Riemann

5 Março 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Teórica: Propriedades da convergência em quase toda a parte de sucessões monótonas de funções em escada não negativas relativas à convergência dos seus integrais .Função inferior f_ e superior f ^_ duma função f relativamente ao limite das funções em escada inferiores e superiores relativo a uma sucessão de partições e respetivas somas de Darboux. A igualdade f_ = f ^_a menos de um conjunto de medida nula é condição necessária e suficiente da integrabilidade à Riemann de f e a verificação de que f_ = f _~= liminf f e f ^_= f ^~= limsup f, em quase todo o ponto, determina o critério de Lebesgue para a integrabilidade à Riemann: uma função f é integrável à Riemann se e só se for contínua a menos de um conjunto de medida nula.

Teórico-prática: Consequências do teorema de Lebesgue: i) o espaço das funções integráveis à Riemann é um sub-espaço de Banach para a convergência uniforme da funções limitadas num bloco, que contém o subespaço das funções contínuas. ii) a integração de Riemann num conjunto limitado arbitrário de R^n é possível se e só se a medida da sua fronteira topológica for um conjunto de medida nula, pois nesse caso a sua função característica é integrável à Riemann.

Funções em Escada e Conjuntos de Medida Nula

3 Março 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Aula T-P: 1- Demonstração da convergência das somas inferiores (superiores) com uma sucessão de partições de diâmetro evanescente para o integral inferior (superior) de Darboux; 2-Demonstração da equivalência do critério de Riemann e de Darboux da integrabilidade em blocos de R^N; 3. As funções contínuas são integráveis à Riemann.

Aula T: As funções em escada constituem um espaço vetorial; o integral de uma função em escada é linear e positivo. Conjuntos de medida nula (segundo Lebesgue—1902) e de medida cheia num bloco de R^N. Caraterização dos conjuntos de medida nula através de sucessões monótonas de funções em escada positivas com integral arbitrariamente pequeno. Uma função é integrável à Riemann se e só se for descontínua num conjunto de medida nula (critério de Lebesgue).

Funções em Escada e Conjuntos de Medida Nula

3 Março 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Apresentação. Revisão do Integral de Riemannn

27 Fevereiro 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Apresentação do curso integral e Aplicações. programa, avaliação e bibliografia 1ª:[SG] G.E.Shilov e B.L.Gurevich, Integral, Measure & Derivative: A unified approach, Dover, N.Y. 1977.adicional: Textos de matemática # 4: [B] A. Bivar Weinholtz, Integral de Riemann e de Lebesgue em RN, 4.ª Ed. (2006)https://ciencias.ulisboa.pt/sites/default/files/fcul/dep/dm/Integral-de-Riemann-e-de-Lebesgue-em-Rn_Bivar.pdf

Do integral de Cauchy (1821) para as funções contínuas à construção rigorosa de Darboux (1875) do integral de Riemann (1854) para funções limitadas. Aa suas limitações e o integral de Lebesgue (1902), as suas generalizações na década seguinte e a construção de Daniell (1918). Uma perspetiva histórica no Capítulo de T. Hawkins, The origins of modern theories of integration, pp.149- , in I.Grattan-Guinness (ed.), From the Calculus to Set Theory 1630-1910, Princeton, 1980.

Blocos (intervalos) de R^N, partições e seus refinamentos. Somas de Darboux e integral inferior e superior de funções limitadas. Os critérios equivalentes de Riemann e de Darboux para a existência do integral. Propriedades do integral: linearidade e monotonia. Propostas de primeiros exercícios.

Apresentação. Revisão do Integral de Riemannn

27 Fevereiro 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues