Sumários

L^2 é um espaço de Hilbert

5 Maio 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O integral de Lebesgue implica que L 2 é um espaço de Hilbert. O teorema da representação de Riesz num espaço de Hilbert H e o seu isomorfismo com o seu dual H'. Condições equivalentes para caraterizar bases ortonormadas completas num espaço de Hilbert e a identidade de Parseval. O caso dos espaços de Hilbert separáveis de dimensão infinita, em particular L 2(R^N), os quais são todos isomorfos a l 2, o espaço das séries de quadrado somável. Revisões de série de Fourier.


Aula prática: Continuação da resolução/correção dos exercícios (TPC) do Cap. 6 de [SG] e dos Cap.s 1 e 2 de [R].

Aproximação, convolução e regularização em R^N

30 Abril 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Aula Prática: A invariância da norma L^p para as translações em R^N; as extensões a espaços de medida do teorema do integral paramétrico num espaço métrico e do teorema de Leibniz-Lebesgue para a derivação em R^N; as inclusões contínuas dos espaços L^p(X) relativamente a |infty ≥ p ≥ 1 quando a medida  de X é finita.

Aula Teórica:
A convolução de funções em L^1(R^N) e em L^p(R^N). A desigualdade de Young para a convolução. Funções regularizantes (ou molificantes). O teorema da regularização, via molificação, para funções localmente integráveis, funções de L^p e funções contínuas. Consequências: a densidade das funções indefinidamente diferenciáveis de suporte compacto num aberto de R^N em L^p, 1≤p<\infity, e uma caraterização da nulidade das funções localmente integráveis.

Aproximação, convolução e regularização em R^N

30 Abril 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Aula Prática: A invariância da norma L^p para as translações em R^N; as extensões a espaços de medida do teorema do integral paramétrico num espaço métrico e do teorema de Leibniz-Lebesgue para a derivação em R^N; as inclusões contínuas dos espaços L^p(X) relativamente a |infty ≥ p ≥ 1 quando a medida  de X é finita.

Aula Teórica:
A convolução de funções em L^1(R^N) e em L^p(R^N). A desigualdade de Young para a convolução. Funções regularizantes (ou molificantes). O teorema da regularização, via molificação, para funções localmente integráveis, funções de L^p e funções contínuas. Consequências: a densidade das funções indefinidamente diferenciáveis de suporte compacto num aberto de R^N em L^p, 1≤p<\infity, e uma caraterização da nulidade das funções localmente integráveis.

Espaços L^p(X)

28 Abril 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Os espaços (de Lebesgue) — L^p(X). Desigualdades de Hölder e de Minkowski. Num espaço de medida X geral, L^p(X) é um espaço de Banach para 1 ≤ p ≤ infty. Aproximação em L^p(X): as funções simples (1 ≤ p ≤ infty), com X geral, e as funções elementares (1 ≤ p < infty), com X munido dos axiomas de Stone, são densas em L^p(X). Num espaço de Hausdorff X, localmente compacto e com um medida regular e finita nos compactos de X (onde o teorema de Lusin é válido, em particular, nos abertos de R^N) as funções contínuas de suporte compacto em X são densas em L^p(X), 1 ≤ p < infty. Como consequência, os  L^p nos abertos de R^N com a medida de Lebesgue são separáveis para 1 ≤ p < infty.

Aula prática: resolução de exercícios dos TPC facultativos.

Espaços L^p(X)

28 Abril 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Os espaços (de Lebesgue) — L^p(X). Desigualdades de Hölder e de Minkowski. Num espaço de medida X geral, L^p(X) é um espaço de Banach para 1 ≤ p ≤ infty. Aproximação em L^p(X): as funções simples (1 ≤ p ≤ infty), com X geral, e as funções elementares (1 ≤ p < infty), com X munido dos axiomas de Stone, são densas em L^p(X). Num espaço de Hausdorff X, localmente compacto e com um medida regular e finita nos compactos de X (onde o teorema de Lusin é válido, em particular, nos abertos de R^N) as funções contínuas de suporte compacto em X são densas em L^p(X), 1 ≤ p < infty. Como consequência, os  L^p nos abertos de R^N com a medida de Lebesgue são separáveis para 1 ≤ p < infty.

Aula prática: resolução de exercícios dos TPC facultativos.