O espaço de Sobolev H^1(R^N)

21 Maio 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Introdução ao espaço de Sobolev H ¹(R ^N), como subespaço de Hilbert de L ²(R ^N). Definição de derivada generalizada e definição de derivada como quociente diferencial em L ²(R ^N) e o espaço W ¹. Resultados de densidade das funções de Schwatrz e das funções indefinidamente deriváveis de suporte compacto e demonstração de H ¹(R ^N)=H ¹ ₀(R ^N).

Aplicações da transformação de Fourier —1

19 Maio 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A solução da equação do calor em Rⁿ obtida como a convolução da condição inicial  (contínua, limitada e integrável) com o kernel de Weierstrass. As relações entre a derivação e a transformação de Laplace nas funções de Schwartz e o teorema de Plancherel determinam, por densidade, novos subespaços de Hilbert de L²(Rⁿ) em que as derivadas são ainda funções de L²(Rⁿ)—introdução aos espaços de Sobolev H^m(Rⁿ), m≥1.

Aula prática: Exercícios sobre a transformação de Fourier e outras resoluções de exercícios anteriores e de revisão.

Aplicações da transformação de Fourier —1

19 Maio 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A solução da equação do calor em Rⁿ obtida como a convolução da condição inicial  (contínua, limitada e integrável) com o kernel de Weierstrass. As relações entre a derivação e a transformação de Laplace nas funções de Schwartz e o teorema de Plancherel determinam, por densidade, novos subespaços de Hilbert de L²(Rⁿ) em que as derivadas são ainda funções de L²(Rⁿ)—introdução aos espaços de Sobolev H^m(Rⁿ), m≥1.

Aula prática: Exercícios sobre a transformação de Fourier e outras resoluções de exercícios anteriores e de revisão.

A transformação de Fourier em L^2

14 Maio 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Demonstração da fórmula da inversão da transformação de Fourier em L ¹. As funções de Schwartz das funções regulares de decrescimento rápido no infinito constituem um espaço onde a transformada de Fourier e a sua inversa são uma bijeção isométrica para a norma de  L ². A extensão da transformação de Fourier e do teorema de Plancherel a L ².  

A transformação de Fourier em L^2

14 Maio 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Demonstração da fórmula da inversão da transformação de Fourier em L ¹. As funções de Schwartz das funções regulares de decrescimento rápido no infinito constituem um espaço onde a transformada de Fourier e a sua inversa são uma bijeção isométrica para a norma de  L ². A extensão da transformação de Fourier e do teorema de Plancherel a L ².