TP: Equivalência das duas definições de conjunto de medida nula num conjunto geral onde se introduziram funções elementares e o integral elementar. Discussão de demonstrações das aulas anteriores, incluindo o Lema de Fatou e a sua comparação com o teorema da convergência dominada de Lebesgue.

Teórica: O teorema de Riesz-Fisher e a demonstração que o espaço L das funções somáveis à Lebesgue (identificadas a menos de um conjunto de medida nula) é um espaço de Banach. O teorema de Fubini na forma axiomática para funções definidas num produto cartesiano de dois espaços gerais munidos de integrais gerais à Daniell.

O teorema de Levi — integração termo a termo de uma série de funções positivas e somáveis—e suas primeiras consequências. O teorema da permutação do limite com o integral do limite de uma sucessão monótona crescente de funções somáveis com integrais uniformemente majorados. Se o integral de uma função positiva somável é nulo a função é quase sempre nula. O teorema da convergência dominada de Lebesgue para a permuta do limite com o integral para sucessões de funções somáveis convergentes e enquadradas por uma função somável—a sua demonstração por enquadramento com sucessões monótonas de funções somáveis.

Funções mensuráveis, i.e. funções que são o limite em quase toda a parte de funções elementares, incluem as funções somáveis mas são mais gerais. O enfraquecimento da passagem ao limite — lema de Fatou.

Primeira avaliação do sistema de videoconferência e resposta a dúvidas suscitadas.

O teorema de Levi — integração termo a termo de uma série de funções positivas e somáveis—e suas primeiras consequências. O teorema da permutação do limite com o integral do limite de uma sucessão monótona crescente de funções somáveis com integrais uniformemente majorados. Se o integral de uma função positiva somável é nulo a função é quase sempre nula. O teorema da convergência dominada de Lebesgue para a permuta do limite com o integral para sucessões de funções somáveis convergentes e enquadradas por uma função somável—a sua demonstração por enquadramento com sucessões monótonas de funções somáveis.

Funções mensuráveis, i.e. funções que são o limite em quase toda a parte de funções elementares, incluem as funções somáveis mas são mais gerais. O enfraquecimento da passagem ao limite — lema de Fatou.

Primeira avaliação do sistema de videoconferência e resposta a dúvidas suscitadas.

As funções (reais) elementares definidas num conjunto arbitrário X definem um espaço vetorial fechado H para o |.|. O integral elementar I como um funcional linear, positivo e contínuo para sucessões decrescentes convergentes para zero em todo o ponto de X. Conjuntos de medida nula e o lema da continuidade para sucessões decrescentes convergentes para zero  quase sempre (q.s.) em X. A classe L⁺ das funções limites monótonos crescentes q.s. de funções elementares de integrais uniformemente limitados (sucessões fundamentais) e o integral dessas funções. A classe  L=  L⁺ -  L⁺ é o espaço vetorial das funções somáveis ou integráveis (à Lebesgue) fechado para |.|, onde o integral geral está bem definido como um funcional linear monótono que estende o integral elementar.

TPC: Exercícios com uma definição equivalente de conjunto de medida nula, utilizando sucessões fundamentais de funções elementares