Sumários

Integração geral em conjuntos mensuráveis

16 Abril 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A teoria da medida geral baseada no integral de Daniell é enriquecida com os axiomas de Stone que asseguram a mensurabilidade das truncaturas das funções mensuráveis e a importância dos conjuntos de nível das funções mensuráveis na mensurabilidade de conjuntos: demonstração geral da caraterização das funções mensuráveis f através da mensurabilidade dos respetivos conjuntos de sobre-nível {x: f(x) > c} para qualquer real c. A ideia original da construção do integral de Lebesgue: partição do contradomínio das funções e da sua aproximação por combinações lineares (e séries) de funções caraterísticas (funções simples). O integral geral em conjuntos mensuráveis arbitrários e as suas propriedades, incluindo a sua continuidade absoluta relativamente à medida do conjunto de integração. Medida geral num espaço produto.


Aula teórico-prática: explicação detalhada da resolução do primeiro mini-teste sobre o cálculo do integral impróprio de sin x / x  em (0,\infty) utilizando as propriedades do integral de Lebesgue.

Funções e conjuntos mensuráveis

7 Abril 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O espaço M(X) das funções mensuráveis num conjunto X geral, munido de integral de Daniell, é um espaço vetorial, reticulado, i.e. fechado para o |.| e, portanto, para a parte positiva e negativa das funções, assim como para o Máx e o Mín. As funções somáveis são mensuráveis, mas o inverso requer algo mais, como no caso do seu valor absoluto ser dominado por uma função somável. Teoremas para a convergência pontual em quase toda a parte: o limite, respetivamente, o liminf e o limsup, de funções mensuráveis é mensurável.

Os conjuntos somáveis, e também os mensuráveis, de X são definidos a partir das respetivas funções características, cujo integral de Daniell define a sua medida, finita para os primeiros e infinita para os conjuntos mensuráveis que não são somáveis. Propriedades da medida para a união, intersecção e diferença de conjuntos—a \sigma-aditividade, ou aditividade numerável para as uniões de conjuntos disjuntos dois a dois.
Os axiomas de Stone asseguram a existência de uma função somável e estritamente positiva em todo o X, e ainda que M(X) inclui as constantes e as truncaturas de funções mensuráveis. A caraterização das funções mensuráveis através dos respetivos conjuntos de sob-nível.

Funções e conjuntos mensuráveis

7 Abril 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

O espaço M(X) das funções mensuráveis num conjunto X geral, munido de integral de Daniell, é um espaço vetorial, reticulado, i.e. fechado para o |.| e, portanto, para a parte positiva e negativa das funções, assim como para o Máx e o Mín. As funções somáveis são mensuráveis, mas o inverso requer algo mais, como no caso do seu valor absoluto ser dominado por uma função somável. Teoremas para a convergência pontual em quase toda a parte: o limite, respetivamente, o liminf e o limsup, de funções mensuráveis é mensurável.

Os conjuntos somáveis, e também os mensuráveis, de X são definidos a partir das respetivas funções características, cujo integral de Daniell define a sua medida, finita para os primeiros e infinita para os conjuntos mensuráveis que não são somáveis. Propriedades da medida para a união, intersecção e diferença de conjuntos—a \sigma-aditividade, ou aditividade numerável para as uniões de conjuntos disjuntos dois a dois.
Os axiomas de Stone asseguram a existência de uma função somável e estritamente positiva em todo o X, e ainda que M(X) inclui as constantes e as truncaturas de funções mensuráveis. A caraterização das funções mensuráveis através dos respetivos conjuntos de sob-nível.

Funções somáveis em R^N

2 Abril 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

6ª aula por  https://videoconf-colibri.zoom Meeting ID 592-196-787
Resultados de densidade das funções em escada, das funções contínuas e das funções integráveis à Riemann no espaço completo da funções somáveis ou integráveis à Lebesgue em subconjuntos de R^N. Observações sobre os conjuntos de medida nula e as respetivas definições de Lebesgue e as de Daniell (por sucessões monótonas de funções elementares): as funções somáveis são limitadas a menos de um conjunto de medida nula. Integrais impróprios e integrais paramétricos (continuidade e diferenciabilidade à la Lebesgue). Aplicação à função gama.
Aula Prática: resolução de exercícios propostos.

Funções somáveis em R^N

2 Abril 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

6ª aula por  https://videoconf-colibri.zoom Meeting ID 592-196-787
Resultados de densidade das funções em escada, das funções contínuas e das funções integráveis à Riemann no espaço completo da funções somáveis ou integráveis à Lebesgue em subconjuntos de R^N. Observações sobre os conjuntos de medida nula e as respetivas definições de Lebesgue e as de Daniell (por sucessões monótonas de funções elementares): as funções somáveis são limitadas a menos de um conjunto de medida nula. Integrais impróprios e integrais paramétricos (continuidade e diferenciabilidade à la Lebesgue). Aplicação à função gama.
Aula Prática: resolução de exercícios propostos.