Sumários
Caraterização da medida de Lebesgue em R^N
23 Abril 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A \sigma-álgebra dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue em R N é a menor das \sigma-álgebras que contem os borelianos e um conjunto mensurável à Lebesgue é, a menos de um conjunto de medida nula, uma união numerável de fechados e uma intersecção numerável de abertos. A noção de medida exterior em geral num conjunto X, como uma aplicação monótona e \sima-subaditiva de qualquer subconjunto de X. Todos os conjuntos mensuráveis à Lebesgue em R N constituem a maior \sigma-álgebra dos subconjuntos de R N onde a medida exterior é \sima-aditiva. A medida de Lebesgue é a única medida positiva nos mensuráveis, que é \sima-aditiva, invariante para as translações e valendo um no cubo unitário de R N.
Caraterização da medida de Lebesgue em R^N
23 Abril 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A \sigma-álgebra dos conjuntos mensuráveis à Lebesgue em R N é a menor das \sigma-álgebras que contem os borelianos e um conjunto mensurável à Lebesgue é, a menos de um conjunto de medida nula, uma união numerável de fechados e uma intersecção numerável de abertos. A noção de medida exterior em geral num conjunto X, como uma aplicação monótona e \sigma-subaditiva de qualquer subconjunto de X. Todos os conjuntos mensuráveis à Lebesgue em R N constituem a maior \sigma-álgebra dos subconjuntos de R N onde a medida exterior é \sigma-aditiva. A medida de Lebesgue é a única medida positiva nos mensuráveis, que é \sigma-aditiva, invariante para as translações e valendo um no cubo unitário de R N.
O Integral de Lebesgue via Teoria da Medida
21 Abril 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Um espaço de medida de um conjunto abstrato é constituído por uma medida definida sobre uma \sigma-álgebra dos seus subconjuntos. Funções mensuráveis e integração abstrata de Lebesgue relativamente a uma medida utilizando funções simples. Reobtenção das propriedades do integral. A caraterização da medida de Lebesgue em R^N e o teorema da mudança de variável (sem demonstrações)—utilizando [R1], i.e.o Cap.1 de
O Integral de Lebesgue via Teoria da Medida
21 Abril 2020, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
Um espaço de medida de um conjunto abstrato é constituído por uma medida definida sobre uma \sigma-álgebra dos seus subconjuntos. Funções mensuráveis e integração abstrata de Lebesgue relativamente a uma medida utilizando funções simples. Reobtenção das propriedades do integral. A caraterização da medida de Lebesgue em R^N e o teorema da mudança de variável (sem demonstrações)—utilizando [R1], i.e.o Cap.1 de
Integração geral em conjuntos mensuráveis
16 Abril 2020, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues
A teoria da medida geral baseada no integral de Daniell é enriquecida com os axiomas de Stone que asseguram a mensurabilidade das truncaturas das funções mensuráveis e a importância dos conjuntos de nível das funções mensuráveis na mensurabilidade de conjuntos: demonstração geral da caraterização das funções mensuráveis f através da mensurabilidade dos respetivos conjuntos de sobre-nível {x: f(x) > c} para qualquer real c. A ideia original da construção do integral de Lebesgue: partição do contradomínio das funções e da sua aproximação por combinações lineares (e séries) de funções caraterísticas (funções simples). O integral geral em conjuntos mensuráveis arbitrários e as suas propriedades, incluindo a sua continuidade absoluta relativamente à medida do conjunto de integração. Medida geral num espaço produto.