Sumários

A transformação de Fourier em L^1(R^N)

13 Abril 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

A analogia clássica dos coeficientes de Fourier e da série de Fourier, respetivamente, com a transformação de Fourier e da sua inversa, para recuperar a função de partida. As suas definições clássicas para as funções regulares com decrescimento moderado no infinito, em particular para as funções de Schwartz em R, generalizam-se imediatamente às funções somáveis de várias variáveis, i.e., às funções de L1(RN). As propriedades básicas da transformação de Fourier relativamente às translações, às dilações e ao produto de convolução. A transformação de Fourier e a sua inversa são aplicações lineares contínuas de  L1(RN) nas funções limitadas de  R Ncom a norma do supremo. 

Continuação da resolução de exercícios pelos alunos—a convergência fraca, i.e. dos produtos internos com qualquer função fixa, e a convergência das normas num espaço de Hilbert implica a convergência forte, i.e. na norma hilbertiana.

Dualidade e representação de L^p

8 Abril 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Extensões e aplicações do teorema de Radon-Nikodym e Lebesgue relativamente medidas reais e complexas relativamente a uma medida positiva sigma-finita (sem demonstrações): a decomposição polar de uma medida complexa e as decomposições de Jordan e de Hahn duma medida real. A representação integral das formas lineares contínuas sobre os espaços gerais de funções reias ou complexas definidas num espaço geral de medida positiva sigma-finita  L p  (teorema de Riesz) e a dualidade  L p -Lq, p≥1.


Resolução de exercícios sobre funções mensuráveis e uma propriedade da média das funções somáveis.

Dualidade e representação de L^p

8 Abril 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Extensões e aplicações do teorema de Radon-Nikodym e Lebesgue relativamente medidas reais e complexas relativamente a uma medida positiva sigma-finita (sem demonstrações): a decomposição polar de uma medida complexa e as decomposições de Jordan e de Hahn duma medida real. A representação integral das formas lineares contínuas sobre os espaços gerais de funções reias ou complexas definidas num espaço geral de medida positiva sigma-finita  L p  (teorema de Riesz) e a dualidade  L p -Lq, p≥1.


Resolução de exercícios sobre funções mensuráveis e uma propriedade da média das funções somáveis.

O teorema de Radon-Nikodym

6 Abril 2021, 11:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Revisão de medidas positivas. Medidas mutuamente singulares e a noção de medida absolutamente contínua relativamente a outra. O Teorema de Lebesgue e o de Radon-Nikodym sobre a decomposição de uma medida positiva finita numa soma relativamente a outra numa soma de uma singular com outra absolutamente contínua que tem uma representação integral única com uma função somável relativamente à segunda— a demonstração de von Neumannn que usa o teorema de Riesz em L2 da soma das duas medidas. 


Resolução de exercícios sobre as propriedades do integral de Lebesgue.

O teorema de Radon-Nikodym

6 Abril 2021, 10:30 • José Francisco da Silva Costa Rodrigues

Revisão de medidas positivas. Medidas mutuamente singulares e a noção de medida absolutamente contínua relativamente a outra. O Teorema de Lebesgue e o de Radon-Nikodym sobre a decomposição de uma medida positiva finita numa soma relativamente a outra numa soma de uma singular com outra absolutamente contínua que tem uma representação integral única com uma função somável relativamente à segunda— a demonstração de von Neumannn que usa o teorema de Riesz em L2 da soma das duas medidas. 


Resolução de exercícios sobre as propriedades do integral de Lebesgue.